Question

(AAP – 16ª Edição – Adaptado) Bianca comprou um terreno retangular e deseja cercá-lo com muros utilizando uma parede já existente. Sabe-se que o comprimento do muro que será construído para cercar os outros três lados do terreno deverá ter 48m de comprimento.




De acordo com as indicações, a área máxima do terreno que poderá ser cercado é de:

a. 96 m². IncorretoResposta incorreta. Observe que a área não tem uma relação direta com o dobro do comprimento.
b. 288 m²
c. 12 m².
d. 2304 m².

Answer 1

Suponha que a parede existente tenha medida igual a x, sabemos que o perímetro deste terreno será então de 48 + x metros.

Como o terreno é retangular, note que dois lados terão a medida igual a x e os outros dois lados juntos medirão: 48 + x - 2x = 48 - x.

Como estes dois lados são iguais, cada um medirá (48 - x)/2 metros.
Sendo assim, a área total do terreno é dada pelo produto da medida de cada lado:
A = x * (48-x)/2
A = (48x - x²)/2

Note que a área se torna uma função do segundo grau com concavidade voltada para baixo, o que significa que ela tem um ponto máximo que será o valor máximo da área. Simplificando a equação:
A = 24x - 0,5x²

O valor máximo da área pode ser encontrado calculando a coordenada y do vértice da parábola, onde Yv = -Δ/4a.
Sendo a = -0,5, b = 24 e c = 0:
Yv = -(b² - 4ac)/4a
Yv = -24²/4*(-0,5)
Yv = -24²/-2
Yv = 288

Portanto, a área máxima é igual a 288 m², alternativa B.