Question

a) x4 – 26x2 + 25 = 0 S = { -5, 5, -1 , 1 }

b) ( x2 – 1 ) . ( x2 – 12 ) + 24 = 0 S= { 3, -3 , 2 ,-2 }

c) x2(x2 – 9 ) = - 20 S= (√5 , -√5, 2, -2 }

d) x4 - x2 = 3x2 +25
                        6

Answer 1

EQUAÇÃO BIQUADRADA ( 4 raizes)



A) x4 – 26x2 + 25 = 0 S = { -5, 5, -1 , 1 }

x⁴ - 26x² + 25 = 0   ( ARTIFICIO)
x⁴ = y²
x² = y

x⁴ - 26x² +  25 = 0  fica
y² - 26y  + 25 = 0  ( equação do 2º grau)
a = 1
b = - 26
c = 25
Δ = b² - 4ac
Δ = (-26)² - 4(1)(25)
Δ = 676 - 100
Δ = 576 -------------------------> √Δ = 24   ( porque √576 = 24)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
          - b + - √Δ
y = ----------------------
               2a

y' = -(-26) - √576/2(1)
y' = + 26 - 24/2
y' + 2/2
y' = 1
e
y" = -(-26) + √576/2(1)
y" = + 26 + 24/2
y" = 50/2
y" = 25

VOLTANDO para o ARTIFICIO
x² = y
y = 1
x² =  1
x = + - √1   ( √1 = 1)
x = + - 1
e
x² = y
 y = 25
x² = 25
x = + - √25        ( √25 = 5)
x = + - 5
 
assim
x' = - 1
x" = - 5
x'" =  1
x"" = 5



b) ( x2 – 1 ) . ( x2 – 12 ) + 24 = 0 S= { 3, -3 , 2 ,-2 }

(x² - 1)(x² - 12) + 24 = 0

x⁴ - 12x² - 1x² + 12 + 24 = 0
x⁴ - 13x² + 36 = 0  (ARTIFICIO)
x⁴ = y²
x² = y

x⁴ - 13x² + 36 = 0 fica
y² - 13y + 36 = 0
a = 1
b = - 13
c = 36
Δ = b² - 4ac
Δ = (-13)² - 4(1)(36)
Δ = + 169 - 144
Δ = 25 ----------------------------> √Δ = 5   (porque √25 = 5)
(baskara)
       - b + - √Δ
y = -------------------
             2a

y' = -(-13) - √25/2(1)
y' = + 13 - 5/2
y' = + 8/2
y' = 4
e
y" = -(-13) + √25/2(1)
y" = + 13 + 5/2
y" = + 18/2
y" = 9

VOLTANDO no artificio
x² = y
y = 4
x² = 4
x = + - √4
x = + - 2
e
x² = y
y = 9
x² = 9
x = + - √9
x  + - 3

assim
x' = - 2
x'' = - 3
x'" = + 2
x"" = + 3

c) x2(x2 – 9 ) = - 20 S= (√5 , -√5, 2, -2 }

x²(x² - 9) = - 20

x⁴ - 9x² = - 20   ( igualar a zero)
x⁴ - 9x² + 20 = 0   ( ARTIFICIO)
x⁴ = y²
x² = y

x⁴ - 9x² + 20 = 0  fica
y² - 9y + 20 = 0
a = 1
b = - 9
c = 20
Δ = b² - 4ac
Δ = (-9)² - 4(1)(20)
Δ = + 81 - 80
Δ = 1 ------------------> √Δ = 1   (porque √1 = 1)
(baskara)
         - b + - √Δ
y = ------------------
                2a

y' = - (-9) - √1/2(1)
y' = + 9 - 1/2
y' = + 8/2
y' = 4
e
y" = -(-9) + √1/2(1)
y"= + 9+ 1/2
y" = + 10/2
y" = 5

VOLTANDO NO ARTIFICIO
x² = y
y = 4
x² = 4
x = + - √4
x = + - 2
e
x² = y
y = 5
x² = 5
x =+ - √5

assim
x' = -  2
x" = - √5
x'"= + 2
x"" = + √5


d) x4 - x2 = 3x2 +25
6

x⁴ - x² = 3x² + 25 (igualar a zero)
x⁴ - x² - 3x² - 25 = 0
x⁴ - 4x² - 25 = 0  ARTIFICIO
x⁴ = y²
x² = y

x⁴ - 4x² - 25 = 0  fica
y² - 4y - 25 = 0
a = 1
b = - 4
c = - 25
Δ = b² - 4ac                         fatora  116| 2
Δ = (-4)² - 4(1)(-25)                           58| 2
Δ = + 16 + 100                                  29| 29
Δ = 116                                               1/
                                                         = 2.2.29
                                                         = 2².29
√Δ = √116
√116 = √2².29   ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²))
√116 = 2√29
√Δ = 2√29

baskara
         - b + - √Δ
y = -----------------. 
              2a

          - (-4) - 2√29
y' = ------------------
               2(1)

         + 4 - 2√29
y' = ------------------  ( divide TUDO por 2)
                 2

y'= + 2 - √29
e
          -(-4) + 2√29
y" = ------------------
                2(1)
  
          + 4 + 2√29     
y" = ----------------------- ( divide TUDO por 2)
               2

y" = 2 + √29

assim
y' = 2 - √29
y" = 2 + √29 

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