Question

A Velocidade escalar média de um móvel de um Automóvel até a metade de seu percurso é 90km/h e na outra metade restante é 60km/h. Determine a velocidade escalar média no percurso total. Ela é a média aritmética das velocidades escalares média em cada trecho do percurso?

Answer 1

Suponha que o a distância do percurso total seja 2x (em quilômetros).


       1º Trecho (primeira metade do percurso):

•  tempo de percurso:   $\mathsf{\Delta t_1;}$

•  velocidade média:   $\mathsf{v_1=90~km/h;}$

•  distância percorrida:   $\mathsf{x.}$


Devemos ter,

$\mathsf{v_1=\dfrac{x}{\Delta t_1}}\\\\\\ \mathsf{v_1\cdot \Delta t_1=x}\\\\\\ \mathsf{\Delta t_1=\dfrac{x}{v_1}\qquad\quad(i)}$


       2º Trecho (segunda metade do percurso):

•  tempo de percurso:   $\mathsf{\Delta t_2;}$

•  velocidade média:   $\mathsf{v_2=60~km/h;}$

•  distância percorrida:   $\mathsf{x.}$


Devemos ter,

$\mathsf{v_2=\dfrac{x}{\Delta t_2}}\\\\\\ \mathsf{v_2\cdot \Delta t_2=x}\\\\\\ \mathsf{\Delta t_2=\dfrac{x}{v_2}\qquad\quad(ii)}$

_______

Considerando o percurso total, a velocidade média é

$\mathsf{v=\dfrac{x+x}{\Delta t_1+\Delta t_2}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{2x}{\frac{x}{v_1}+\frac{x}{v_2}}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{2\diagup\!\!\!\! x}{\diagup\!\!\!\! x\cdot \left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2} \right )}}$

$\mathsf{v=\dfrac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}}$

(a velocidade média do percurso total é a média harmônica das velocidades médias em cada trecho)


Substituindo os valores, temos

$\mathsf{v=\dfrac{2}{\frac{1}{90}+\frac{1}{60}}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{2}{\frac{2}{180}+\frac{3}{180}}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{2}{~\frac{2+3}{180}~}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{2}{~\frac{5}{180}~}}$

$\mathsf{v=2\cdot \dfrac{180}{5}}\\\\\\ \mathsf{v=2\cdot 36}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{v=72~km/h} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$

__________

De forma resumida, calculando diretamente a velocidade média do percurso inteiro:

$\mathsf{v=\dfrac{\textsf{dist\^ancia total}}{\textsf{tempo total}}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{\textsf{2x}}{\Delta t_1+\Delta t_2}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{\textsf{2x}}{\frac{x}{v_1}+\frac{x}{v_2}}}\\\\\\ \mathsf{v=\dfrac{\textsf{2}}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}}$


que é a mesma fórmula obtida anteriormente.


A velocidade média no percurso total não é igual à média aritmética de cada trecho, mas sim igual à média harmônica.


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Bons estudos! :-)


Tags: velocidade média trecho média harmônica cinemática