Question

A variável discreta X tem função de probabilidade dada por: X = 0, 1, 2, 3 e p(x) = 0,2 para x=0; p(x) = 0,4 para x=1; p(x) = 0,2 para x=2; p(x) = 0,2 para x=3.
a) Obter F, a função de distribuição acumulada de X;
b) Determinar a esperança e variância;
c) Determine P(1 < X <=2).

Answer 1

Dada uma variável discreta X, existe a função de distribuição de probabilidade

$p: A \rightarrow [0,1]$

que retorna a probabilidade da variável discreta assumir um elemento de A. A função de distribuição acumulada de X é a função definida por

$F(x) = \displaystyle\sum_{\substack{y\in A\\y\leq x}} p(y)$

A esperança e variância de X é dada por

$E[X] = \displaystyle\sum_{x\in A} x\, p(x)$

$Var[X] = E[X^2]-\left(E[X]\right)^2$

Onde,

$E[X^2] = \displaystyle\sum_{x\in A} x^2\, p(x)$

Dada a função de distribuição de probabilidade

$p(x)=\displaystyle\left \{ {{0.2 \hspace{0.6cm} x=0,2,3} \atop {0.4 \hspace{1.25cm} x=1}} \right.$

A função de probabilidade acumulada é a função

$F(x) = \left\{\begin{array}{c}0.2 \hspace{0.6cm} x=0\\0.6 \hspace{0.6cm} x=1\\0.8 \hspace{0.6cm} x=2\\ 1 \hspace{0.9cm} x=3\end{array}\right.$

A esperança de X é dada por

$E[X] = 0*0.2+1*0.4+2*0.2+3*0.2 = 0.4+0.4+0.6 = 1.4$

E para a variância calculamos

$E[X^2] = 0^2*0.2+1^2*0.4+2^2*0.2+3^2*0.2 = 1*0.4+4*0.2+9*0.2 = 0.4+0.8+1.8 = 3$

$\therefore Var[X] = 3-(1.4)^2 = 3-1.96 = 1.04$

A probabilidade da variável aleatória assumir o valor um valor entre 1 excluso e 2 incluso é a probabilidade de X = 2, pois é o único valor em A entre 1 excluso e 2 incluso.

$P(1<X\leq 2) = 0.2$