Question

A unidade de ensacamento de uma fabrica de cimentos é pressuposto encher os sacos com um
peso médio µ=50 kg. E ´obvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade ´
de 50 kg, havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos cimento, devido a
diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo. Estudada esta variabilidade
ou dispers˜ao, quantificou-se a variˆancia do processo, tendo-se conclu´ıdo que ´e de σ
2=0,25 kg2
ou o desvio padrão σ =√0, 25 = 0, 5 kg. Admitindo que o processo de ensacamento segue alei de distribuição normal com media µ = 50 e desvio padrão σ = 0, 5, calcule a probabilidade
de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
(a) entre 50 kg e 51 kg.
(b) entre 49,5 kg e 50 kg.
(c) entre 49 kg e 51 kg.
(d) acima de 51,5 kg.
(e) abaixo de 48,75 kg.
(f) entre 50,5 kg e 51,5 kg.
(g) entre 48,5 kg e 49,5 kg.
(h) abaixo de 48,5 kg ou acima de 51,5 kg

Answer 1

µ=50 kg

σ²=0,25

desvio padrão σ =√0, 25 = 0, 5 kg

a)

P( 50 < X < 51)

P[(50-50)/0,5 < Z < (51-50)/0,5)]

P[0 < Z < 2] =Ψ(2) - Ψ(0) = 0,9772- 0,5 =0,4772

b)

P( 49,5 < X < 50)

P[(49,5-50)/0,5 < Z < (50-50)/0,5)]

P[-1 < Z < 0] =Ψ(0) - Ψ(-1) = Ψ(1) -Ψ(0)

= 0,8413 - 0,5 = 0,3413

c)

P( 49 < X < 51)

P[(49-50)/0,5 < Z < (51-50)/0,5)]

P[-2 < Z < 2] =Ψ(2) - Ψ(-2)

=Ψ(2) + Ψ(2)

= 0,9772 -0,5 + 0,9772 -0,5 =0,9544

d)

P( X > 51,5) = 0,5 - P(X <51,5)

P( X > 51,5) =0.5 - P(Z < (51,5-50)/0,5))

P( X > 51,5) =0.5 - P(Z < 3) =

0,5 -[Ψ(3)-Ψ(0)]

0,5 - ( 0,9987 -0,5) =0,0013

e)

P( X < 48,75) = P(Z < (48,75-50)/0,5)

P(Z < -2,5) =0,5+0,5- Ψ(2,5)

=1- 0,9938 =0,0062

f)

P(50,5 < X < 51,5) =P[(50,5-50)/0,5< Z < (51,5-50)/0,5

=P(1 < Z < 3) = Ψ(3)- Ψ(1) =0,9987 -0,8413=0,1574

g)

P(48,5 < X <49,5) =P[(48,5-50)/0,5 < Z < (49,5-50)/0,5]

=P(-3 < Z < -1 ) =Ψ(-1) - Ψ(-3) =Ψ(3) - Ψ(1)

=0,9987-0,8413 = 0,1574

h)

P(48,5 < X > 51,5)

P[(48,5-50)/0,5 < X > (51,5-50)/0,5]

P(-3 < X >3) = 2 * P(X>3)

P(X>3) =0,5 -[0,9987-0,5] = 0,0013

2 * P(X>3) =0,026