Question

A um costume americano no qual o jovem procura atingir em pouco tempo eu primeiro milhão de dólares. Aqui no Brasil um jovem ao completar 18 anos ouviu esta noticia e resolveu aplicar todo o dinheiro que tinha - R$20.000.00, para que pode-se atingir o seu primeiro milhão de reais. Se essa aplicação for a juros compostos e a taxa for de 25% ao ano, qual será a idade do jovem quando atingir seu objetivo?
(Dados: log.5= 0,699)

Answer 1

Resposta:

36 anos.

Explicação passo-a-passo:

Bom dia!

Aplicado um capital sob uma taxa fixa de juros compostos por prazo determinado obtemos um valor futuro chamado montante mediante a seguinte fórmula:

$M=C(1+i)^n$

Nosso montante será de R$ 1.000.000,00, nosso capital R$ 20.000,00, a taxa de 25% a.a. e o prazo é o que se solicita no problema.

Portanto:

$1\,000\,000=20\,000\cdot\left(1+25\%\right)^n\\\\1,25^n=\dfrac{1\,000\,000}{20\,000}\\\\1,25^n=50\\\\n=\dfrac{\log\;50}{\log\;1,25}\\\\n=\dfrac{\log\;5+\log\;10}{\log\;125-\log\;100}\\\\n=\dfrac{\log\;5+\log\;10}{3\log\;5-2\log\;10}\\\\n=\dfrac{0,699+1}{3\cdot 0,699-2}\\\\n\approx 17,5$

Portanto, com 36 anos de idade já terá atingido o seu objetivo.

Espero ter ajudado!

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Vanyalcampos, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que montante, em juros compostos, é dado por:

M = C*(1+i)ⁿ , em que "M" é o montante, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.

Observe que já dispomos dos seguintes dados para substituir na fórmula acima:

M = 1.000.000

C = 20.000

i = 0,25 ao ano ----- (note que 25% = 25/100 = 0,25).

n = n ---- (é o que vamos encontrar).

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

1.000.000 = 20.000*(1+0,25)ⁿ ----- desenvolvendo, teremos:

1.000.000 = 20.000*(1,25)ⁿ ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:

20.000*(1,25)ⁿ = 1.000.000 ---- vamos isolar (1,25)ⁿ, ficando assim:

(1,25)ⁿ = 1.000.000/20.000 --- note que esta divisão dá "50". Logo:

(1,25)ⁿ = 50 ----- E veja também que "1,25 = 125/100". Assim, ficaremos com:

(125/100)ⁿ = 50 ------ agora aplicaremos logaritmo a ambos os membros, ficando:

log (125/100)ⁿ = log (50) ---- veja que 50 = 5*10. Assim, ficaremos:

log (125/100)ⁿ = log (5*10) ----- agora vamos aplicar algumas propriedades logarítmicas: a primeira é você poder passar o expoente "n" multiplicando o respectivo log;  a segunda é você poder transformar a divisão em subtração; e a terceira é você poder transformar o produto em soma. Então aplicando essas duas propriedades, teremos:

n*[log (125 - log (100)] = log (5) + log (10) ------- note que 125 = 5³; e 100 = 10². Assim, substituindo-se, ficaremos com:

n*[log (5³) - log (10²)] = log (5) + log (10) ----- passando os respectivos expoentes multiplicando os seus logs, ficaremos com:

n*[3log (5) - 2log (10)] = log (5) + log (10) ----- como foi recomendado que se utilizasse log (5) = 0,699 , e considerando que log (10) = 1, então teremos:

n*[3*0,699 - 2*1] =  0,699 + 1 -----  desenvolvendo, teremos:

n*[2,097 - 2] = 0,699 + 1 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

n*[0,097] = 1,699 ------ agora isolando "n", ficaremos com:

n = 1,699/0,097 ---- note que esta divisão dá "17,5" bem aproximado. Logo:

n = 17,5 anos <---- Este é o tempo em que o valor de R$ 20.000,00 atingirá o montante de R$ 1.000.000,00, utilizando-se os dados fornecidos pela questão (que recomendou que se utilizasse log (5) = 0,699).

Então, como o jovem, ao fazer a sua aplicação de R$ 20.000,00 havia completado 18 anos. então para saber qual será a idade dele após essa aplicação, então basta somar 18 anos MAIS 17,5 anos. Assim, teríamos:

18 anos + 17,5 anos = 35,5 anos, o que poderemos "arredondar" para 36 anos. Assim, o jovem terá:

36 anos <--- Esta é a resposta. Ou seja, quando esse jovem houver atingido R$ 1.000.000,00 com a sua aplicação de R$ 20.000,00 terá completado 36 anos (aproximadamente).

É isso aí.

Deu pra entender todo o nosso passo a passo?

Ok?

Adjemir.