Question

A trajetória de um automóvel A pode ser descrita pela equação x^2 + y^2 = 2. Assinale
a alternativa cuja equação representa a trajetória de um automóvel que tangencie a
trajetória de A no ponto (1, 1).

Inclua uma resposta com explicação, por favor

Resposta: y = -x +2

Answer 1

$Ol\'a, \ \bold{Nabouvier}.$

$Veja \ o \ anexo \ do \ gr\'afico.$

$Da \ equa\c{c}\~ao \ da \ circunfer\^encia, (x \ - \ xC)^2 \ + \ (y \ - \ yC)^2 \ = \ R^2, \\ podemos \ analisar \ que \ a \ equa\c{c}\~ao \ fornecida \ \boxed{x^2 \ + \ y^2 \ = \ 2} \\ pertence \ \`a \ uma \ circunfer\^encia \ de \ centro \ na \ origem \\ \\ (xC,yC) \ = \ (0,0) \\ \\ e \ que \ R^2 \ = \ 2 \ \rightarrow \ R \ = \ \sqrt{2} \ \'e \ o \ seu \ raio.$

$A \ tangente \ \`a \ esta \ circufer\^encia \ no \ ponto \ (1,1) \ \'e \ perpendicular \ \\ a \ um \ dos \ seus \ infinitos \ segmentos \ de \ raio. \\ No \ caso, \ este \ segmento \ \'e \ o \ azul \ e \ a \ tangente \ \'e \ o \ vermelho.$

$Este \ segmento \ de \ raio \ pode \ ser \ visto \ como \ parte \ de \ uma \ reta \\ que \ passa \ pelo \ centro \ (0,0) \ e \ por \ (1.1). \\ \\ \'E \ f\'acil \ de \ ver \ que \ essa \ reta \ 'e \ \boxed{y \ = \ x}, \ mas \ qualquer \ coisa \\ diferente \ n\'os \ jogar\'iamos \ na \ equa\c{c}\~ao \ da \ reta \ \boxed{y \ = \ a \ \cdot \ x \ + \ b }.$

$Enquanto \ o \ coeficiente \ linear \ de \ \boxed{y \ = \ x} \ \'e \ 0 \ (b \ = \ 0), \ o \ angular\\ \'e \ 1. \\ (y \ = \ \underbrace{1}_{coefiente \ angular} \ \cdot \ x \ + \ \underbrace{0}_{coeficiente \ linear} )$

$Vamos \ chamar \ este \ coef. \ de \ m_r. \\ \\ O \ coef. \ angular \ da \ tangente \ ser\'a \ m_t. \\ \\ Como \ reta \ azul \ \perp \ reta \ vermelha, \rightarrow \\ \\ \underbrace{m_r \ \cdot \ m_t \ = \ -1 }_{Proprieade} \ \Rightarrow \ No \ caso, \ m_r \ = \ 1 \\ \\ 1 \ \cdot \ m_t \ = \ 1 \ \rightarrow \ \boxed{m_t \ = \ -1}$

$A \ reta \ tangente \ tem \ coef. \ angular \ m_t \ = \ -1 \ e \ passa \ por \ (1,1). \\ \\ Jogando \ em \ \boxed{y \ = \ a \ \cdot \ x \ + \ b} \rightarrow \\ \\ 1 \ = \ -1 \ \cdot 1 \ + \ b \\ \\ 1 \ = \ -1 \ + \ b \ \rightarrow \ \boxed{b \ = \ 2}$

$logo, \ a \ reta \ tangente \ tem \ a \ lei \ : \\ \\ \boxed{{y \ = \ - \ x \ + \ 2 }}$