Question

A TODOS DO BRAINLY,

Encontre a solução fraca do problema sublinear
$\left \{ {-\triangle u=|u|^{q-2}} \atop {u=0\,\partial\Omega}} \right$

onde
$\Omega\subset \mathbb{R}^N$.

Answer 1

Oi, vi que havia sido excluída a tarefa. Enfim, agradeço por solicitar minha ajuda.
 Esse tipo de questão exige muita teoria em EDP, mas no fundo é muito interessante.!

Vou supor que você tem mínimo conhecimento nessa área. Vamos lá,

Acredito que o q que você está considerando é tal $1\ \textless \ q\ \textless \ 2$. Vou aplicar método variacional, para isso, defino o funcional

$I(u)=\displaystyle\frac{1}{2}\int_\Omega|\nabla u|^2-\frac{1}{q}\int_\Omega|u|^q$
Veja que a derivada é 
$I'(u)v=\displaystyle\int_\Omega\nabla u\nabla v-\int_\Omega|u|^{q-2}uv$.

Esse tipo de funcional é coercivo, logo limitado inferiormente. Então, vamos preparar o terreno para usar a reflexividade do espaço $H_0^1(\Omega)$. Seja (u_n) uma sequência no espaço  $H_0^1(\Omega)$ tal que
 $I(u_n)\to c=inf_{u\in H_0^1(\Omega)}I(u)$ onde  $I'(u_n)\to 0$.
Se a sequência dada não fosse limitada, você teria que sua norma tenderia ao infinito, mas pela coercividade do funcional, segue que o infimo c não existe. Agora, sendo o espaço reflexivo, temos 
$u_n\rightharpoonup u$
Use as imersões de Sobolev para obter convergência forte,
$u_n\to u$ no espaço L^q .
Use o teorema de Vainberg e Convergência dominada de Lebesgue, para concluir que 
$\displaystyle \int |u_n|^{q-2} (u_n-u)\to 0$.

Como você tem a limitação da sequência, segue
$\displaystyle\int\nabla\,u_n\nabla(u_n-u)$ tende a zero, quando n tende a zero. Daqui posso concluir que
$||u_n-u||^2=\displaystyle\int\nabla(u_n-u)\nabla(u_n-u)$ 
tende a zero. Então a sequência (u_n) converge para u na norma do espaço
$H_0^1(\Omega)$. Isso mostra, também, que o funcional tem a condição de Palais-Smale. Portanto, acabamos de mostrar que u é solução fraca da sua EDP.

Bons estudos, 

espero ter ajudado.