Question

a temperatura t de uma estufa em graus celsius e determinada em funçao da hora t do dia pela expressao t= -t2 +11t-24

(a) os horarios em que a temperatura e 0c
(b) o horario em que a estufa atinge a temperatura maxima e
(c) a temperatura maxima que a estufa atinge

Answer 1

Resposta:

Olá! A resposta é:

a) A temperatura é $0 \hspace{0,1cm}^{\circ}C$ em $3h$ e $8h.$

b) O horário para temperatura máxima é obtida em $5,5h.$

c) A temperatura máxima ocorre em $6,25 \hspace{0,1cm}^{\circ}C.$

Explicação passo a passo:

Uma função quadrática é definida por $f(x)=ax^{2}+bx+c$ com $a,$ $b$ e $c$ números reias e com $a\neq 0.$ Cujas raízes são definidas por:

$\Delta x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.$

a) Perceba que a função $T(t) = -t^{2}+11t-24 \iff f(x) =ax^{2}+bx+c$, então $a=-1$, $b=11$ e $c=-24$, então substituindo na equação acima tem-se:

$\Delta t = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$\Delta t = \displaystyle\frac{-11 \pm \sqrt{(11)^{2}-4\cdot (-1)\cdot (-24)}}{2\cdot (-1)}$

$\Delta t = \displaystyle\frac{-11 \pm \sqrt{121-96}}{(-2)}$

$\Delta t = \displaystyle\frac{-11 \pm \sqrt{25}}{(-2)}$

$\Delta t = \displaystyle\frac{-11 \pm 5}{(-2)}$

logo os horários são:

$t'=\displaystyle\frac{-11+5}{(-2)}$

$t'=\displaystyle\frac{-6}{(-2)}$

$t'=3h.$

e

$t''=\displaystyle\frac{-11-5}{(-2)}$

$t''=\displaystyle\frac{-16}{(-2)}$

$t''=8h.$

b) Como o valor de $a$ é negativo, ou seja $a=-1$, o gráfico dessa função será uma parábola com concavidade voltada para baixo, e o horário em que a estufa atinge sua temperatura máxima é definido pelo $x_{v}$ ($x$ do vértice), que é definido por:

$x_{v} = \displaystyle-\frac{b}{2a}$

assim, igualando $x_{v}$ ao tempo $t_v}$, tem-se:

$x_{v} = \displaystyle-\frac{b}{2a} \iff t_{v} = \displaystyle-\frac{b}{2a}$

$t_{v} = \displaystyle-\frac{11}{2\cdot (-1)}$

$t_{v} = \displaystyle\frac{11}{2}$

$t_{v} = 5,5h.$

c) Já a temperatura máxima é definida pelo $y_{v}$ ($y$ do vértice) que é definido por:

$y_{v}= \displaystyle-\frac{(b^{2}-4ac)}{4a}$

assim, igualando $y_{v}$ temperatura $T(t)$, tem-se:

$y_{v}= \displaystyle-\frac{(b^{2}-4ac)}{4a} \iff T(t)=\displaystyle-\frac{(b^{2}-4ac)}{4a}$

$T(t)= \displaystyle-\frac{((11)^{2}-4\cdot (-1)\cdot (-24))}{4\cdot (-1)}$

$T(t)= \displaystyle-\frac{121-96}{(-4)}$

$T(t)= \displaystyle-\frac{25}{(-4)}$

$T(t)= \displaystyle\frac{25}{(4)}$

$T(t)=6,25 \hspace{0,1cm}^{\circ}C.$

Bons estudos. Ah! Caso deseje praticar mais, segue algumas questões interessantes. ;-)

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