Question

A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T(x, y) 60/(1 x2 y2 ), onde T é medido em ºC e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1) em (a) a direção x e (b) a direção y.

Answer 1

Utilizando derivadas parciais temos que as taxas de variação são:

a) - 6,66... Cº/m

b) - 3,33... Cº/m

Explicação passo-a-passo:

Temos então a equação:

$T(x,y)=\frac{60}{1+x^2+y^2}$

Se queremos a taxa de variação, então queremos a derivada parcial desta função, na direção x temos a derivada parcial em x, em y a derivada em y.

a)

$\frac{dT(x,y)}{dx}=-\frac{60}{(1+x^2+y^2)^2}.2x$

Substituindo pelo valor do ponto (2,1):

$\frac{dT(x,y)}{dx}=-\frac{60}{(1+2^2+1^2)^2}.2.2=-\frac{60}{9}=-\frac{20}{3}=-6,66...$

b)

$\frac{dT(x,y)}{dy}=-\frac{60}{(1+x^2+y^2)^2}.2y$

Substituindo pelo valor do ponto (2,1):

$\frac{dT(x,y)}{dx}=-\frac{60}{(1+2^2+1^2)^2}.2.1=-\frac{60}{18}=-\frac{10}{3}=-3,33...$

Answer 2

Com base na função de variação de temperatura dada e levando em consideração os conceitos de derivada parcial, temos que a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1) na direção x é 6,67 e na direção y é 3,33, aproximadamente.

Para chegar a essas respostas é importante entender os conceitos básicos relativos à derivadas parciais.

Derivadas parciais

• As derivadas parciais são derivadas para funções de duas variáveis.
• Nelas, deriva-se uma variável por vez utilizando as mesmas condições báscias de derivação para uma única variável.

Sendo assim, com base nas informações acima, a fim de calcular a taxa de variação na direção x e y no ponto (2,1), basta calcular as derivadas da função T(x,y):

a) dT(x,y)/dx = 120x/(1 + x² + y²)²

   No ponto (2,1):

   dT(x,y)/dx = 120*2/(1 + 4 + 1)²

   dT(x,y)/dx = 6,67...

b) dT(x,y)/dy = 120y/(1 + x² + y²)²

   No ponto (2,1):

   dT(x,y)/dy = 120*1/(1 + 4 + 1)²

   dT(x,y)/dy = 3,33...

Logo, a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1) na direção x é 6,67 e na direção y é 3,33, aproximadamente.

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