A temperatura, em graus centígrados, para fabricar um determinado produto no interior de uma câmara, é dada por f(t) = t2 – 6t + A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t=0, a temperatura é de 10°C, calcule o tempo gasto para que a temperatura seja mínima (em minutos).
Soluções para a tarefa
A função que expressa o valor da temperatura em função do instante de tempo é f(t) = t² - 6t + A.
Se a temperatura é 10 °C no instante t = 0, então temos:
f(t) = t² - 6t + A
10 = 0² - 6.0 + A
A = 10
Logo, a função é f(t) = t² - 6t + 10.
Para encontrar o instante de tempo em que a temperatura é mínima, temos duas opções.
A primeira opção é apelar para as coordenadas do vértice da parábola, que é o ponto mínimo dessa função. O vértice da parábola tem coordenadas (-b/2a; -Δ/4a), e a abscissa -b/2a corresponde ao valor de t quando a temperatura é mínima.
Temos -b/2a = -(-6)/2.1 = 6/2 = 3. Portanto, t = 3 min, e o tempo gasto para que a temperatura seja mínima é 3 minutos.
A segunda opção para encontrar o instante de tempo em que o valor da temperatura é minimo é derivar a função f(t) e igualar a derivada a zero:
df(t)/dt = 0
2t - 6 = 0
t = 3 minutos