Question

A temperatura, em graus Celsius, de um objeto armazenado em um determinado local é modelada pela função f(x) = - x ao quadrado sobre 12 +2x +10, com x dado em horas. Qual a temperatura máxima atingida por esse objeto nesse local de armazenamento?

Answer 1

$\mathsf{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\\\mathsf{\hspace{15}x\mapsto -\frac{1}{12}x^2+2x+10}$

$\mathsf{f(x)_{m\'ax}=\dfrac{-\Delta}{~~4a},~sendo~\Delta=b^2-4ac}\\\\\\\mathsf{f(x)_{m\'ax}=\dfrac{-[2^2-4\cdot(-\frac{1}{12})\cdot10]}{4\cdot(-\frac{1}{12})}}\\\\\\\mathsf{f(x)_{m\'ax}=\dfrac{-[4+\frac{40}{12}]}{-\frac{4}{12}}}\\\\\\\mathsf{f(x)_{m\'ax}=\dfrac{-[\frac{48}{12}+\frac{40}{12}]}{-\frac{4}{12}}}\\\\\\\mathsf{f(x)_{m\'ax}=\dfrac{-\frac{88}{12\hspace{-6}\diagup}}{-\frac{4}{12\hspace{-6}\diagup}}}\\\\\\\mathsf{f(x)_{m\'ax}=\dfrac{88}{4}}\\\\\\\mathsf{f(x)_{m\'ax}=22}$

A temperatura máxima é 22º Celsius.

Obs:  $~\mathsf{\frac{-\Delta}{~4a}~}$ ,  graficamente representa a ordenada do vértice da parábola representativa da função quadrática.

Answer 2

Resposta:

22ºC

Explicação passo-a-passo:

Note que a função que modela a temperatura do objeto é uma função de segundo grau, a qual descreve uma parábola.

Uma vez o coeficiente que multiplica x² é negativo, a parábola possui concavidade para baixo e, por isso, possui um ponto de máximo. Caso contrário, a parábola teria um ponto de mínimo, que poderia ser obtido da mesma forma.

Para determinar esse ponto de máximo, devemos derivar a função e igualar o resultado a zero. Fazendo isso com a função fornecida, obtemos o valor de X para que isso ocorra. Logo:

$f(x)=-\frac{x^2}{12}+2x+10\\ \\ f'(x)=-\frac{2x}{12}+2=0\\ \\ \frac{x}{6}=2\\ \\ x=12$

Por fim, basta substituir esse valor na função. Portanto:

$f_{max}=f(12)=-\frac{12^2}{12}+2\times 12+10\\ \\ \boxed{f_{max}=22\ºC}$

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