Question

Quanto é (10^x)^1-x=0,00001 ? (questão exponencial)

Answer 1

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Resolver a equação exponencial:

$\mathsf{(10^x)^{1-x}=0,\!00001}\\\\ \mathsf{(10^x)^{1-x}=10^{-5}}\\\\ \mathsf{10^{x\,\cdot\,(1-x)}=10^{-5}}$


A última linha acima é uma igualdade entre exponenciais de mesma base. Basta igualar os expoentes:

$\mathsf{x\,\cdot\,(1-x)=-5}\\\\ \mathsf{x-x^2=-5}\\\\ \mathsf{0=-5-x+x^2}\\\\ \mathsf{x^2-x-5=0}\quad\rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-1}\\\mathsf{c=-5} \end{array} \right.$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-5)}\\\\ \mathsf{\Delta=1+20}\\\\ \mathsf{\Delta=21}$


$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{21}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1\pm \sqrt{21}}{2}}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{x=\dfrac{1-\sqrt{21}}{2}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}} \end{array}$


Conjunto solução:   $\mathsf{S=\left\{\dfrac{1}{2}\,(1-\sqrt{21}),\,\dfrac{1}{2}\,(1+\sqrt{21}) \right \}.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  equação exponencial solução resolver álgebra