Question

“A técnica de datação por carbono -14 foi descoberta nos anos quarenta, por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de carbono -14 dos tecidos orgânicos mortos diminuía a um ritmo constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos valores de carbono -14 em um objeto antigo nos apresenta pistas muito exatas dos anos decorridos desde sua morte.”
Uma amostra de um certo objeto possui no início do processo de decaimento N(0) = 1x104 núcleos radioativos de carbono-14. Sabendo que a variação do decaimento de núcleos radioativos de carbono-14 com o tempo (em anos) é N(t) = -N(0)λe-λt, em que λ = 1,245x10-0.A alternativa que corresponde ao número de núcleos radioativos após 3000 anos é:

Answer 1

a. 5366.
b. 4738.c. 6883. d. 4183.e. 6077.

correto é a letra c.6883

Answer 2

Resposta:

Seja "N(0)'' = 1×10⁴nucleos

Obs: Irei chamar a variável "λ" de y OK?

Seja também,

N'(t) = -N(0)ye^-^y^t

Como sabemos pela definição do calculo diferencial e integral

\\ \frac{dN(t)}{dt} = N'(t)
 \\ 
 \\ Ou
 \\ 
 \\ \frac{dN(t)}{dt} = -N(0)ye^-^y^t
 \\ 
 \\ dN(t) = -N(0)ye^-^y^tdt

Usando o teorema fundamental do calculo em ambos os lados teremos:

\int\limits d N(t) {} \, = \int\limits { -N(0)ye^-^y^t} \, dt

A integral de "dN(t) é N(t) +k"

Como, N(0)y é constante em relação a "t"

Podemos:

N(t) + k_{1} = -N(0)y. \int\limits {e^-^y^t} \, dt

Sabendo que:

\int\limits {e^n^x} \, dx = \frac{e^n^x}{n} +k

Então,

\int\limits {e^-^y^t} \, dt = - \frac{e^-^y^t}{y} + k_{2}

Logo, nosso calculo fica:

\\ N(t) + k_{1} = -N(0)y.(- \frac{e-^y^t}{y} + k_{2} )
 \\ 
 \\ N(t) = N(0).e^-^y^t+k

Achando o valor de "K"

Para isso, a questão nos disse quem em t = 0, N(0) = 10⁴

\\ N(t) = N(0)e^-^y^t+k
 \\ 
 \\ N(0) = N(0)e^-^0+k
 \\ 
 \\ N(0) = N(0) +k
 \\ 
 \\ k = 0

Por coincidência, nem foi necessário o valor de N(0) para achar "k"

Então,

\\ N(t) = N(0)e^-^y^t+0
 \\ 
 \\ N(t) = N(0)e^-^y^t

Substituindo

t = 3000

y = 1,245.10⁻⁴

N(0) = 10⁴

-------------------

Logo,

\\ N(3000) = 10^4.e ^\frac{-1,245*10^-^4*3000}{} 
 \\ 
 \\ N(3000) = 10^4.e^-^0^,^3^7^3^5
 \\ 
 \\ N(3000) = 10^4.(0,6883209863)

N(3000) ≈ 6.883 Núcleos radioativos

Explicação passo-a-passo: