Question

A taxa de variação de z em relação a t quanto t= 0, sendo z = x.y + 2 x.y² e sabendo-se que é igual a x= e^t + e y= 2+ t²

Sugestão: use a regra de cadeia dz/dt = az/ax. dx/dt + az/ay. dy/dt

Answer 1

Olá



Há duas formas de se desenvolver esse exercício:

1º modo - substitui os valores de 'x' e 'y' na função z, com isso a função vai ficar somente em função de 't'.


2º modo - Utiliza a formula dada, porém, terá que envolver as derivadas parciais de z em relação a 'y' e em relação a 'x'. E no final substitui os valores de 'x' e 'y'.



Sugestão: Utilize o 1º modo.




Irei resolver pelos 2 métodos para você ver.



1º modo


z = x.y + 2xy²

x = $e^t$
y = 1 + t²



Substitui os valores de 'x' e 'y' em z


z = $\mathsf{e^t(1+t^2)~+~2e^t(1+t^2)^2}$



Deriva em relação a t


Regra do produto:

(f.g)' = f'.g + f.g'


$\displaystyle\mathsf{ \frac{dz}{dt}~=~[e^t(1+t^2)~+~2te^t ]~+~2[e^t(+t^2)^2~+~e^t2(1+t^2).2t] }\\\\\\\mathsf{ \frac{dz}{dt}~=~[e^t(1+t^2)~+~2te^t ]~+~2[e^t(1+t^2)^2~+~4te^t(1+t^2)] }$



Para t=0


$\displaystyle \mathsf{ \frac{dz}{dt}~=~[\underbrace{e^0(1+0^2)}_{=1}~+~\underbrace{2(0)e^0 }_{=0}]~+~2\cdot[\underbrace{e^0(1+0^2)^2}_{=1}~+~\underbrace{4(0)e^0(1+0^2)}_{=0}] }$


$\displaystyle\mathsf{ ~=~[1+0]~+~2\cdot [1 + 0] }\\\\\\\boxed{\mathsf{~=~3 }}$










2º modo


Primeiramente vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a 'x' e em relação a 'y'.

As regras de derivações são as mesmas para derivadas parciais.


z = xy + 2xy²


Em relação a 'y'

$\displaystyle\mathsf{ \frac{\partial z}{\partial y}~=~xy^{1-1}~+~2\cdot 2 xy^{2-1} }\\\\\\\mathsf{ \frac{\partial z}{\partial y}~=~x~+~4xy}$


Em relação a 'x'

$\displaystyle\mathsf{\frac{\partial z}{\partial x}~=~x^{1-1}y~+~2x^{1-1}y^2}\\\\\\\mathsf{ \frac{\partial z}{\partial x}~=~y~+~2y^2}$



Fórmula da regra da cadeia dada


$\displaystyle\mathsf{ \frac{dz}{dt}~=~ \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} ~+~ \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} }$



Temos que calcular dy/dt e dx/dt


calculando dx/dt


$\displaystyle\mathsf{x~=~e^t}\\\\\\\mathsf{ \frac{dx}{dt}~=~e^t }$



Calculando dy/dt


$\displaystyle\mathsf{y~=~1+t^2}\\\\\\\mathsf{ \frac{dy}{dx}~=~2t }$



Substituindo todos os dados na fórmula


$\displaystyle\mathsf{ \frac{dz}{dt}~=~(y+2y^2) \cdot (e^t) ~+~ (x+4xy) \cdot (2t)}$



Agora temos que deixar 'x' e 'y' em função de 't';
Basta substituir os dados do enunciado.


$\displaystyle\mathsf{ \frac{dz}{dt}~=~[(1+t^2)+2(1+t^2)^2] \cdot (e^t) ~+~ [e^t+4e^t(1+t^2)] \cdot (2t)}$


Para t=0


$\displaystyle\mathsf{ \frac{dz}{dt}~=~[\underbrace{(1+0^2)}_{=1}+\underbrace{2(1+0^2)^2}_{=2}] \cdot \underbrace{(e^0)}_{=1} ~+~ [\underbrace{e^0+4e^0(1+0^2)}_{=5}] \cdot \underbrace{(2(0))}_{=0}}\\\\\\\mathsf{=[1~+~2]\cdot 1~~+~~[5]\cdot 0}\\\\\\\boxed{\mathsf{=3}}}$