Question

A taxa de variação da quantidade vendida V (x) de um produto em relação aos gastos com propaganda é:
V'(x)= x e^x
Sabendo que, quando x = 0 tem-se V(0) = 1, determine a expressão algébrica que
representa V(x).

Answer 1

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre técnicas de integração, concluímos que a expressão algébrica que representa V(x) é $\large{\boxed{V(x)=e^x(x-1)+1}}$

Se temos a derivada,f'(x), de uma função f(x), e queremos achar a função original, bastar integrar f'(x). Ou seja, na sua questão, a função V(x) é encontrada resolvendo a integral

$\large{\displaystyle V( x) =\int V'( x) dx=\int xe^{x} dx}$

☞ Vamos usar a técnica da integração por partes:

$\Large{\boxed{\int udv=uv-\int vdu}}$

➜ Seja $\arge{u=x}$   e   $\arge{dv=e^xdx}$. Então $\arge{du=dx}$   e   $\large{\displaystyle\int dv=\int e^{x} dx\Longrightarrow v=e^{x}}$

Substituindo na fórmula:

$\large{ \begin{array}{l}\displaystyle\int xe^{x} dx=xe^{x} -\int e^{x} dx\\\\=xe^{x} -e^{x}\\\\=e^{x}( x-1)\end{array}}$

➜ Adicionando a constante de integração:

$\large{V(x)=e^x(x-1)+c}$

Aqui a constante de integração foi dada pelo enunciado. Ela é V(0), que vale 1. Portanto, $\large{V(x)=e^x(x-1)+1}$__✍️

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