Question

A superfície lateral de um cone reto planificada é um setor de 200° de um círculo de 9 cm de raio. Determine a área total e o volume do cone.

Answer 1

resposta:

Utilizando as formulações geometricas de cones, temos que:

Área lateral: A=12\piA=12π

Área da Base: A=4\piA=4π

Área total: A=16\piA=16π

Volume: V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=316π2

Explicação passo-a-passo:

Como o cone aberto já é a área lateral, então basta encontrarmos a área desta seção de circulo, usando a formula:

A=R^2.\frac{\theta}{2}A=R2.2θ

Onde R é o raio e Ф é o angulo em radianos, neste caso 120º em radianos é 2π/3, então a área fica:

A=6^2.\frac{\pi}{3}A=62.3π

A=12\piA=12π

Agora vamos encontrar a circunferência da base para encontrarmos a base. Note que o comprimento de circunferencia é dado pela formula:

C=\theta.RC=θ.R

No nosso caso novamente:

C=\frac{2\pi}{3}.6C=32π.6

C=4\piC=4π

A circunferência do setor circular aberto mede 4π, mas quando ele fechar o cone inteiro, então este comprimento vira a circunferência da base, então temos que:

C=2\pi.RC=2π.R

E como já sabemos o valor da

circunferência:

4\pi=2\pi.R4π=2π.R

R=2R=2

Temos então que o raio da base mede 2, assim podemos encontrar sua área que é dada por:

A=\pi.R^2A=π.R2

A=\pi.2^2A=π.22

A=4\piA=4π

Agora já temos também a área da base. Para encontrarmos altura basta utilizarmos pitagoras agora, pois o raio da base o raio da seção e a altura formam um

triangulo retangulo de acordo com a figura:

6^2=h^2+2^262=h2+22

h^2=36-4h2=36−4

h=\sqrt{32}h=32

h=4\sqrt{2}h=42

Então com a altura consigos achar o volume pela formula:

V=\frac{1}{3}A_b.hV=31Ab.h

V=\frac{1}{3}4\pi.4\sqrt{2}V=314π.42

V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=316π2

Então agora temos as coisas pedidas:

Área lateral: A=12\piA=12π

Área da Base: A=4\piA=4π

Área total: A=16\piA=16π

Volume: V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}V=316π2