Question

A superfície lateral de um cone reto desenvolvida num plano é um setor circular de 120 e 6 cm de raio. Calcule a área lateral, a área total e o volume desse cone.

Answer 1

Utilizando as formulações geometricas de cones, temos que:

Área lateral: $A=12\pi$

Área da Base: $A=4\pi$

Área total: $A=16\pi$

Volume: $V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

Como o cone aberto já é a área lateral, então basta encontrarmos a área desta seção de circulo, usando a formula:

$A=R^2.\frac{\theta}{2}$

Onde R é o raio e Ф é o angulo em radianos, neste caso 120º em radianos é 2π/3, então a área fica:

$A=6^2.\frac{\pi}{3}$

$A=12\pi$

Agora vamos encontrar a circunferência da base para encontrarmos a base. Note que o comprimento de circunferencia é dado pela formula:

$C=\theta.R$

No nosso caso novamente:

$C=\frac{2\pi}{3}.6$

$C=4\pi$

A circunferência do setor circular aberto mede 4π, mas quando ele fechar o cone inteiro, então este comprimento vira a circunferência da base, então temos que:

$C=2\pi.R$

E como já sabemos o valor da circunferência:

$4\pi=2\pi.R$

$R=2$

Temos então que o raio da base mede 2, assim podemos encontrar sua área que é dada por:

$A=\pi.R^2$

$A=\pi.2^2$

$A=4\pi$

Agora já temos também a área da base. Para encontrarmos altura basta utilizarmos pitagoras agora, pois o raio da base o raio da seção e a altura formam um triangulo retangulo de acordo com a figura:

$6^2=h^2+2^2$

$h^2=36-4$

$h=\sqrt{32}$

$h=4\sqrt{2}$

Então com a altura consigos achar o volume pela formula:

$V=\frac{1}{3}A_b.h$

$V=\frac{1}{3}4\pi.4\sqrt{2}$

$V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}$

Então agora temos as coisas pedidas:

Área lateral: $A=12\pi$

Área da Base: $A=4\pi$

Área total: $A=16\pi$

Volume: $V=\frac{16}{3}\pi\sqrt{2}$