Question

A superfície de um lago é representada por uma região D no plano xy, tal que a profundidade (em pés) sob o ponto correspondente a (x,y) é dada por
f(x,y)=300−3x^2 − 2y^2. Um menino esta nadando no lago e num certo instante se encontava no ponto P=(4,9).
Assinale a alternativa que contem a taxa de variação da profundidade se o menino nadar na direção do vetor.

U−→= ( - √2/2 , - √2/2)

A)DuF(4,9)=30√2.

b)DuF(4,9)= -60

c)DuF(4,9)= -30√2

d)DuF(4,9)= -6√2

e)DuF(4,9)= -6√2

Answer 1

⇒    Aplicando nossos conhecimentos sobre Derivadas Direcionais, concluímos que a taxa de variação (derivada direcional) é 30√2

☛     A derivada direcional da função  $f(x,y,z)$  no ponto  $P(a,b,c)$  e na direção do vetor unitário  $\hat{u}$  é denotada por  $D_uf(P)$  e definida como  $D_uf(P)=\vec{\nabla}f(P)\cdot \hat{u}$

➜     Dado  $f(x,y)=300-3x^2-2y^2$ ,  o gradiente é

       $\vec{\nabla}f=\langle D_{x} f,D_{y}f \rangle =\langle -6x,-4y\rangle$

➜     No ponto (4, 9),  $\boxed{\vec{\nabla } f=\langle -24,-36\rangle }$

➜     O vetor  $\hat{u}$  é unitário. pois  $\boxed{|\hat{u}|=\sqrt{(\dfrac{\sqrt2}{2})^2+(\dfrac{\sqrt2}{2})^2}=1}$

∴     A derivada direcional de  $f$  na direção  $\hat{u}$  é

$\begin{array}{l}D_{u} f=\vec{\nabla } f\cdotp \hat{u}\\\\=\langle -24,-36\rangle \cdotp \langle -\frac{\sqrt{2}}{2} ,-\frac{\sqrt{2}}{2} \rangle \\\\=\frac{-24\cdotp \left( -\sqrt{2}\right) -36\cdotp \left( -\sqrt{2}\right)}{2}\\\\=\boxed{30\sqrt{2}}\end{array}$

∴     A taxa de variação é 30√2, o que consta na alternativa a   ✍️

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada direcional da posição "P" do menino na direção do vetor "u" é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ D_{\hat{u}} f(4, 9) = 30\sqrt{2}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:A\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

             $\Large\begin{cases} f(x, y) = 300 - 3x^{2} - 2y^{2}\\P = (4, 9)\\\vec{u} = (-2\sqrt{2},\,-2\sqrt{2})\end{cases}$

Como a questão resume-se em encontrar a derivada direcional do menino na direção do ponto "P", então, devemos:

• Calcular o vetor gradiente da função:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j}\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -2\cdot3\cdot x^{2 - 1}\,\vec{i} + (-2)\cdot 2\cdot y^{2 - 1}\,\vec{j}\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(x, y) = -6x\,\vec{i} - 4y\,\vec{j}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente aplicado ao ponto "P":

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(4, 9) = -6\cdot4\,\vec{i} - 4\cdot9\,\vec{j}\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -24\,\vec{i} - 36\,\vec{j}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(4, 9) = (-24, -36)\end{gathered}$

• Determinar o versor do vetor "u". Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

                                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \hat{u} = \frac{\vec{u}}{\parallel\vec{u}\parallel}\end{gathered} }$

         OBSERVAÇÃO: O vetor "u" já é um vetor unitário e, consequentemente, ele também é o versor de si próprio, uma vez que seu módulo valo "1" e possui mesma direção e sentido de u.

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Prova:\:\:\:}}}\end{gathered} }$        

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \parallel\vec{u}\parallel = \sqrt{\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^{2} + \bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^{2}}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{\frac{(-\sqrt{2})^{2}}{2^{2}} + \frac{(-\sqrt{2})^{2}}{2^{2}}}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{\frac{4}{4}}\end{gathered} }$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{1}\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\end{gathered}$  

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\parallel\vec{u}\parallel = 1\end{gathered}$

• Obter a derivada direcional da posição do menino na direção do vetor "u":

        Observe que a derivada direcional pode ser calculada a partir do produto escalar entre o vetor gradiente aplicado ao ponto "P" com o versor de "u", ou seja:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{u}} f(x, y) = \vec{\nabla} f(x, y)\cdot \hat{u}\end{gathered} }$

         Então, temos:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{u}} f(4, 9) = \vec{\nabla} f(4, 9)\cdot \bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)\end{gathered} }$

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = (-24,-36)\cdot\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)\end{gathered} }$

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = -24\cdot\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg) + -36\cdot\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)\end{gathered} }$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 12\sqrt{2} + 18\sqrt{2}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 30\sqrt{2}\end{gathered}$

✅ Portanto, a derivada direcional é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{u}} f(4, 9) = 30\sqrt{2}\end{gathered} }$

         

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$