Question

A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15 . Calcule a soma do sexto termo dessa P.A. com o décimo quinto termo

Answer 1

Boa noite Nabouvier

S20 = -15

a6 + a15  = ?

a1 + 5r + a1 + 14r = 2a1 + 19r = a1 + a20

Sn = (a1 + a20)*20/2  = -15

a1 + a20 = -30/20 = -3/2

a6 + a15 = a1 + a20 = -3/2

Answer 2

Lembrete:

☉ $a_n=a_k+\left(n-k\right)r$
☉ $S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}$
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A questão informa os seguintes dados:

☉ $S_{20}=-15\text{ (Soma dos 20 primeiros termos da P.A)}$
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Inicialmente iremos encontrar a relação do $a_1$ com o $a_{20}$:

$S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}\\\\S_{20}=\dfrac{\left(a_1+a_{20}\right)\cdot 20}{2}=-15\\\left(a_1+a_{20}\right)\cdot 10=-15\\\bold{a_1+a_{20}=-1,5\text{ (i)}}$

☉ Termo geral de uma P.A:

$a_n=a_k+\left(n-k\right)r\\a_{20}=a_1+\left(19-1\right)r\\\bold{a_{20}=a_1+18r}\text { (ii)}$
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Substituindo ii em i teremos:

$a_1+a_{20}=-1,5\\a_1+\left(a_1+19r\right)=-1,5\\\bold{2a_1+19r=-1,5}$
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๏ $a_6$:
$a_6=a_1+\left(6-1\right)r\\a_6=a_1+5r$

๏ $a_{15}$:
$a_{15}=a_1+\left(15-1\right)r\\a_{15}=a_1+14r$
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A soma do $a_6$ com $a_{15}$:

$a_6+a_{15}\\\left(a_1+5r\right)+\left(a_1+14r\right)\\a_1+5r+a_1+14r\\2a_1+19r\text{ (Percebe-se que ja temos esse valor)}\\\\2a_1+19r=-1,5\\\boxed{\bold{a_6+a_{15}=-1,5=-\frac{3}{2}}}$
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Resposta: $a_6+a_{15}=-1,5=-\dfrac{3}{2}$