Question

A soma dos quatro termos do meio de uma progressão aritmetica de doze termos é 74. O produto dos extremos é 70. Qual é a progressão?

Answer 1

Em uma PA a soma dos termos equidistantes dos extremos é sempre igual (tipo, em uma PA de 12 termos, a1 + a12 = a2 + a11)

Assim:
 a5 + a6 + a7 +a8 = 74             alterando a ordem convenientemente:
a5 + a8 + a6 + a7 = 74             aplicando a propriedade:
a1 + an + a1 + an = 74
2.(a1 + an) = 74    
a1 + an = 74/2

a1 + an = 37
a1 . an = 70                         agora vamos chamar a1 de x e an de y:

x + y = 37
xy = 70                      isola x em uma das equações e substitua na outra:

x = 37 - y

xy = 70
(37 - y)y = 70
37y - y² = 70
37y - y² - 70 = 0
y² - 37y + 70 = 0

Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-37)² - 4.1.70
Δ = 1369 - 280
Δ = 1089

y = -b +/- √Δ  /2a
y = -(-37) +/- √1089 /2.1
y = 37 +/- 33 /2

y1 = 37 + 33 /2 = 70/2 = 35
y2 = 37 - 33  /2 = 4/2 = 2

Agora vamos achar os valores de x:
p/ x = 35
x = 37 - 35
x = 2

p/ y = 2
x = 37 - 2
x = 35

Então ou essa é uma PA crescente onde a1 = 2 e an = 35, ou uma PA decrescente onde a1 = 35 e an = 2

Vamos achar a razão:
an = a1 + (n - 1).r
35 = 2 + (12 - 1).r
35 - 2 = 11r
33 = 11r
r = 33/11
r = 3   (se a PA for decrescente, r = -3)

Então agora basta pegar o a1 e a razão e somar para obter o a2, somar a razão de novo pra obter o a3 e assim vai:

Então ou a PA é:
(2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35)
ou
(35,32,29,26,23,20,17,14,11,8,5,2)

Bons estudos