Question

a soma dos quadrados de dois numeros naturais é igual a 520 dividindo o maior dele pelo o menor o quociene é 3 e o resto 4,o produto desses dois numeros naturais é igual a

Answer 1

X= 1º Número maior 
Y= 2º Número

x²+y²=520

Vamos pensar assim, se tu dividir 9/2 = 4 e sobra 1, então se tu pegar o 4 que é o quociente e multiplicar por 2 que o divisor e somar mais 1 que é o resto, tu obtém 9. correto ?

seguindo esse pensamento 
y.3+4=x concorda? 
3y+4=x ou x=3y+4
eu tenho duas equações, bora substituir uma na outra.
x²+y²=520
x=3y+4

(3y+4)²+y²=520 tenho quadrado da soma de dois termos, onde a relação é "quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado".
aquela (a+b) = a²+2.a.b+b²

Então temos:
[(3y)²+2.3y.4+4²] + y² =520
9y²+24y+16+y²-520=0
10y²+24y-504=0 todos os termos são pares, então pra facilitar posso dividir tudo por 2. 
5y²+12y-252 = 0

Usando Bhaskara
a=5
b=12
c=-252
$y= \frac{ -b+-\sqrt{b^2-4.a.c} }{2.a}$

$y= \frac{ -12+-\sqrt{12^2-4.5.-252} }{2.5} = y= \frac{ -12+-\sqrt{144+5040} }{10}$

$y= \frac{ -12+-\sqrt{5184} }{10} = y= \frac{ -12+-72}{10}$

$y'= \frac{ -12+72}{10}=60/10=6 \\ y''= \frac{ -12-72}{10}=-84/10 = -42/5$

∴S={ 6, -42/5} essa negativa eu não uso, pois pede número natural, se é natural então é claro que é positivo. 

Logo y=6
x=3y+4
x=3.6+4
x=18+4
x=22

VAMOS CONFERIR SE ESTÁ CORRETO?

X²+Y²=520
22²+6²=520
484+36=520
520=520 ESTÁ CORRETO.

O PRODUTO DELES ENTÃO É 

22 . 6 = ∴132

Answer 2

Dados:
a^2 + b^2 = 520
a = b.3 + 4

Sabemos que:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(3b + 4 + b)*2 = 520 + 2.(3b + 4).b
(4b + 4)^2 = 520 + 6b^2 + 8b
16b^2 + 32b + 16 = 520 + 6b^2 + 8b
10b^2 + 24b - 504 = 0
5b^2 + 12b - 252 = 0
Delta = 12.12 - 4.5.(- 252)
Delta = 144 + 5040
Delta = 5184
b = (- 12 + 72)/10 (como b é natural, b > 0)
b = 6

a = 3b + 4
a = 3.6 + 4
a = 22

O produto será:
a.b = 6.22 = 132.