Question

A soma dos quadrados das raizes da equação x²+4x+ m = 40. A soma dos inversos das raizes é igual a:

Answer 1

A soma dos inversos das raízes desta equação é igual a 1/3.

Sistema de equações e equações de segundo grau

O enunciado nos fornece uma equação de segundo grau e nos diz que a soma do quadrado de suas raízes é 40. Ou seja:

(x')² + (x")² = 40

O enunciado ainda nos pede para descobrir a soma dos inversos das raízes. Ou seja:

1/x' + 1/x"

Nós não sabemos o valor da soma das raízes, apenas a soma dos quadrados das raízes. Assim, necessitamos recorrer a fórmula da soma de uma equação de segundo grau, que é:

S = -b\a

Observe que o valor de b é 4. Logo:

S = -4/1

S = -4

Assim, descobrimos que o valor da soma é -4. Ou seja:

x' + x" = -4

Podemos isolar o x' para obter a seguinte equação:

x' = -4 - x"

Deste modo temos agora o seguinte sistema de equações:

• (x')² + (x")² = 40
• x' = -4 - x"

Note que podemos utilizar o valor de x' obtido na segunda equação substituindo o x' da primeira equação. Logo:

(-4 - x")² + (x")² = 40

(-4 - x") × (-4 - x") + (x")² = 40 (aqui deve ser feita multiplicação distributiva)

16 + 4x + 4x + x² + x² = 40

16 + 8x + 2x² = 40

2x² + 8x - 40 + 16 = 0

2x² + 8x - 24 = 0

Assim obtivemos uma outra equação de segundo grau. Vamos resolvê-la através da fórmula de Bhaskara:

Δ = b² -4ac

Δ = 8² - 4 × 2 × (-24)

Δ = 64 + 192

Δ = 256

x = (-b ± √Δ)/(2a)

x = (-8 ± √256)/(2 × 2)

x = (-8 ± 16)/4

x' = (-8 + 16)/4

x' = 8/4

x' = 2

x" = (-8 - 16)/4

x" = -24/4

x" = -6

Assim, obtivemos que as raízes são 2 e -6. Podemos utilizar a nossa primeira equação para checar se estes números estão corretos:

(x')² + (x")² = 40

2² + (-6)² = 40

4 + 36 = 40

40 = 40

Assim, podemos ver que a soma dos quadrados das raízes obtidas totaliza 40, como prevê o enunciado da questão. Agora precisamos calcular a soma dos inversos das raízes:

• O inverso de 2 é 1/2;
• O inverso de -6 é 1/-6, que o denominador negativo deve ser convertido para positivo, ficando -1/6.

Agora basta somarmos estes dois números. Observe:

S = 1/2 + -1/6 (para somar devemos fazer o MMC entre 6 e 2, que é 6)

S =  (3 - 1)/6

S = 2/6 (esta fração pode ser simplificada por 2)

S = 1/3

Assim, descobrimos que a soma dos inversos das raízes da equação é 1/3.

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