Question

A soma dos quadrados das raizes da equação x²+4x+ m = 40. A soma dos inversos das raizes é igual a:

Answer 1

Usando um sistema de equações podemos concluir que  o valor da soma dos inversos da raízes é igual a

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\dfrac{1}{3} }} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Equação do 2° e Sistema de equações

A questão nos da o seguinte dados

$F(X)=X^2+4X+M$

$(X_1)^2+(X_2)^2=40$

Temos que encontrar o valor de  $\dfrac{1}{X_1} +\dfrac{1}{X_2}$

Ou seja temos que encontrar o valor da soma dos inversos da raízes

O problema é, não sabemos os valores da raízes, so sabermos que a soma das raízes ao quadrado é 40

Mas usando a relações de Girard podemos conseguir outras relações de $X_1 ~e~X_2$

• Relações de Girard nos diz que a soma das raízes é dada por $\dfrac{-B}{A}$

     $X_1+X_2=\dfrac{-B}{A}$

Bem então vamos ver quanto é a soma de  $X_1 ~e~X_2$

$F(X)=X^2+4X+M\\\\A=1\\B=4\\C=m$

$X_1+X_2=\dfrac{-B}{A}\\\\\\X_1+X_2=\dfrac{-4}{1}\\\\\\\boxed{X_1+X_2=-4}$

Ou seja a soma das duas raízes é -4 com isso podemos fazer um sistema de equações

$\boxed{(X_1)^2+(X_2)^2=40}\\\\\boxed{X_1+X_2=-4}$

Vamos isolar X1 na segunda equação e substituir no lugar da primeira

$X_1+X_2=-4\\\\\boxed{X_1=-4-X_2}$

Agora substituindo em X2 temos

$(X_1)^2+(X_2)^2=40\\\\(-4-X_2)^2+(X_2)^2=40\\\\16+8X_2+(X_2)^2+(X_2)^2=40\\\\(2X_2)^2+8X^2+16=40\\\\(2X_2)^2+8X^2+16-40=0\\\\\boxed{(2X_2)^2+8X^2-24=0}$

Agora basta resolvermos a equação do 2°

$(2X_2)^2+8X^2-24=0\\\\A=2\\B=8\\C=-24$

$X=\dfrac{-B\pm \sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C} }{2A}$

$X=\dfrac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 2\cdot -24} }{2\cdot 2}\\\\\\X=\dfrac{-8\pm \sqrt{256} }{4}\\\\\\X=\dfrac{-8\pm 16 }{4}\\\\X_1=\dfrac{-8+ 16 }{4}\Rightarrow \dfrac{8}{4}=\boxed{2}\\ \\X_2=\dfrac{-8-16 }{4}\Rightarrow \dfrac{-24}{4}=\boxed{-6}$

Ou seja o valor De $X_1=2~e~X_2=-6$ Agora que sabemos o valores podemos achar  $\dfrac{1}{X_1} +\dfrac{1}{X_2}$

Basta substituir

$\dfrac{1}{X_1} +\dfrac{1}{X_2}$

$\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{-6}\\\\\\\dfrac{3-1}{6} \Rightarrow \dfrac{2}{6} \Rightarrow \boxed{\dfrac{1}{3}}$

o valor da soma dos inversos da raízes é $\dfrac{1}{3}$

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