Question

a soma dos quadrados das raizes da equaçao $x^{2} -4x+1=0$ è:

Answer 1

X² - 4x + 1 = 0

Δ = 16 - 4 = 12

x1 = 4 + 2√3 / 2 = 2 + √3

x2 = 4 - 2√3 / 2 = 2 - √3

Soma dos quadrados das raizes

(2 + √3)² + (2 - √3)² = 4 + 4√3 + 3 + 4 - 4√3 + 3 = 14

Answer 2

As raízes da equação podem ser obtidas a partir da equação de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Neste caso, a = 1, b = -4 e c = 1.

Substituindo:

$x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$

$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{3 \cdot 4}}{2}$

$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{4}}{2}$

$x = \dfrac{4 \pm 2 \cdot \sqrt{3}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Ou seja, as duas raízes são:

$x_1 = 2 + \sqrt{3}$

e:

$x_2 = 2 - \sqrt{3}$

A soma dos quadrados das raízes é:

$x_1^2 + x_2^2 = (2 + \sqrt{3})^2 + (2 - \sqrt{3})^2$

Expandindo:

$x_1^2 + x_2^2 = (2 + \sqrt{3})\cdot (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{3})$

Fazendo a multiplicação distributiva:

$x_1^2 + x_2^2 = 4 + 4 \cdot \sqrt{3} + 3 + 4 - 4 \cdot \sqrt{3}+3$

Os termos com raiz quadrada se anulam, ficando:

$\boxed{x_1^2 + x_2^2 = 14}$