Question

A soma dos quadrados das dimensões de um retângulo é igual a 116 e o seu "semiperímetro" mede 14 unidades de comprimento.
A maior dimensão desse retângulo é:

A)4
B)5
C)6
D)8
E)10

Answer 1

Usando as informações dadas e o conhecimento das dimensões de um

retângulo, obtém-se:

A maior dimensão é 10 u.c.  logo E)

Retângulo tem duas dimensões :

• comprimento
• largura

Observação → Também se pode chamar aos lados do retângulo, uma

base e uma altura.

Para tornar mais simples a construção de equações vou chamar:

comprimento = c

largura = l

Primeira equação

$c^2+l^2=116$

O perímetro é a soma de todos os lados.

Como o retângulo tem dois comprimentos e duas larguras

Perímetro = 2c + 2l

Mas fala em " semi perímetro ", é o perímetro a dividir por 2:

$semi~perimetro=\dfrac{2c+2l}{2} =\dfrac{2\cdot ( c+l)}{2} =c+l$

Observação → No numerador da fração tinha dois monômios, o " $2c$ " e o

" $2l$ ".

• Coloquei em evidência o valor 2 que era comum.

• Depois o valor 2 no numerador cancelou-se com o valor 2 no denominador

Segunda equação

$c+l=14$

Posso agora construir um sistema de duas equações com duas

incógnitas  e depois o resolver

$\begin{cases} c^2+l^2=116\\ c+l=14 \end{cases}\\\\\\\begin{cases} c^2+l^2=116\\ c=14 -l\end{cases}\\\\\\\begin{cases} (14-l)^2+l^2=116\\ c=14 -l\end{cases}$

Estou a resolver pelo Método de Substituição

Resolvi a segunda equação em ordem a " $c$ " e substitui esse valo

" $14-l$ " na primeira equação

Vou simplificar a primeira equação.

Atenção a que começa por :

" $(14-l)^2$  

que é um Produto Notável → Quadrado de uma diferença

O desenvolvimento de Quadrado de uma diferença é:

• quadrado do primeiro termo

menos

• dobro do produto do primeiro pelo segundo termo

mais

• quadrado do segundo termo

$\begin{cases} 14^2-2\cdot14\cdot l+l^2+l^2=116\\ c=14 -l\end{cases}$

A primeira equação é uma equação do segundo grau.

• Para resolver vou passar todos os termos para o primeiro membro
• simplificar os termos semelhantes
• calcular as raízes dessa equação
• como só tem a incógnita " $l$ " vamos descobrir seu valor

$\begin{cases} 14^2-2\cdot14\cdot l+l^2+l^2=116\\ c=14 -l\end{cases}\\\\\\\begin{cases} 196-28 l+2l^2=116\\ c=14 -l\end{cases}\\\\\\\begin{cases} 2l^2-28 l+196-116=0\\ c=14 -l\end{cases}\\\\\\\begin{cases} 2l^2-28 l+196-116=0\\ c=14 -l\end{cases}\\\\\\\begin{cases} 2l^2-28 l+80=0\\ c=14 -l\end{cases}$

Vou resolver separadamente a equação do segundo grau

$2l^2-28l+80=0\\\\\\\dfrac{2l^2}{2} -\dfrac{28l}{2} +\dfrac{80}{2} =\dfrac{0}{2}\\\\\\\\l^2-14l+40=0$

Vou usar o Método da Soma e do Produto das raízes

Pode-se escrever as equações do segundo grau da seguinte forma:

$\large ax^2-Sx+P=0$

S = soma das raízes

P = produto das raízes

Prova-se que :

$S = -\dfrac{b}{2a}$           e        $P= -\dfrac{\Delta}{4a}$

Nesta equação:

$S = 14\\\\P = 40$

Vamos procurar por tentativas.

Estudemos valores possíveis para  P

se  P = 40 = 1 * 40

a soma das raízes vinha 1 + 40 = 41 , Falso pois a S dá 14

se  P = 40 = 2 * 20

a soma das raízes vinha = 2 + 20 = 22 , Falso pois a S dá 14

se  P = 40 = 4 * 10

Verdadeiro pois a soma das raízes dá 14  

O valor da largura ou é 4 ou 10

Testar as soluções encontradas para o comprimento.

Voltando ao sistema a segunda equação:

$c+l=14$

Se l = 4

$c+4=14\\\\c=14-4=10$

Se l = 10

$c+10=14\\\\c=14-10\\\\c=4$

Assim temos que as dimensões deste retângulo são:

10 u.c.   e   4  u.c.

A maior dimensão é 10 , logo E)

Ver mais sobre retângulo e seus lados, com Brainly:

https://brainly.com.br/tarefa/196677?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/34724404?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/39245624?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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$(\cdot)$   multiplicação          ( u.c.) unidade de comprimento ; temos que

escrever assim pois não dizem se as unidades estão centímetros ,

metros ou outra.

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.

Answer 2

A maior dimensão do retângulo é 10 unidades. Alternativa E.

Considere:

c: comprimento do retângulo

ℓ: largura do retângulo

Equacione o enunciado:

• A soma dos quadrados das dimensões de um retângulo é igual a 116: ℓ² + c² = 116

• Seu semiperímetro mede 14 unidades: ℓ + c = 14

$\large \sf \ell+c=14 \quad \large \begin{cases}\sf (\ell+c)^2=14^2 & \boxed1\\\sf \ell=14-c & \boxed 2\end{cases}$

• Desenvolva a equação ①.

(ℓ + c)² = 14²

ℓ² + 2ℓc + c² = 196 ⟹ Substitua o valor de ℓ² + c².

2ℓc + 116 = 196 ⟹ Subtraia 116 de ambos os membros.

2ℓc = 80 ⟹ Divida ambos os membros por 2.

ℓc = 40 ⟹ Substitua o valor de ℓ (equação ②).

(14 − c)c = 40 ⟹ Execute a operação distributiva da multiplicação.

−c² + 14c = 40 ⟹ Subtraia 40 de ambos os membros.

−c² + 14c − 40= 0

• Resolva essa equação do segundo grau usando as Relações de Girard.

$\large \sf S = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{14}{-1} = 14$

$\large \sf P = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-40}{-1} = 40$

• As raízes cujo produto é 40 e a soma é 14 são 10 e 4.

Como o comprimento é a maior dimensão do retângulo, então seu comprimento é 10 unidades. Alternativa E.

Aprenda mais:

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