Question

A soma dos possíveis valores de x na equação ((25^x=5)/6) -5^x=0 é:

Answer 1

a resposta é 1, ela tá no canto superior direito da imagem

Answer 2

Olá

Temos a seguinte exponencial

$\mathbf{\dfrac{25^{x}+5}{6}-5^{x}=0}$

Para resolvê-la, façamos da seguinte forma

Fatore o quadrado perfeito

$\mathbf{\dfrac{(5^{2})^{x}+5}{6}-5^{x}=0}$

Aplique a propriedade de potência de potência

$\boxed{\mathbf{(a^{b})^c=a^{b\cdot c}}}$

$\mathbf{\dfrac{5^{2x}+5}{6}-5^{x}=0}$

Substitua a expressão $\mathbf{5^{x}}$ por uma incógnita qualquer, como y

Neste caso, você pode inverter a potenciação de potência para saber onde substituir

$\mathbf{\dfrac{(5^{x})^{2}+5}{6}-5^{x}=0}$

Aplique a substituição, lembrando que $\mathbf{y=5^{x}}$

$\mathbf{\dfrac{y^{2} + 5}{6} - y=0}$

Multiplique todos os membros pelo valor do denominador comum

Lembrando que como temos somente um denominador maior que 1, este é o denominador comum

$\mathbf{\dfrac{y^{2}+5}{6}\cdot6-y\cdot6=0\cdot6}$

Aplique a multiplicação

$\mathbf{y^{2}+5-6y=0}$

Agora, reorganize os termos

$\mathbf{y^{2}-6y+5=0}$

Aplique a fórmula de Bháskara para calcular as raízes

Lembrando que estas são as fórmulas

$y =\dfrac{-b\pm\sqrt[2]{\Delta}}{2\cdot a}\\\\\\ \Delta = b^{2}-4\cdot a\cdot c$

Para o uso destas fórmulas, necessitaremos saber quais são os coeficientes

Levando em conta que qualquer equação quadrática tem a seguinte fórmula

$\boxed{\mathbf{ax^{2}+bx+c = 0}}$

Estes são os coeficientes

$\begin{cases}a=1\\ b = -6\\ c = 5\\ \end{cases}$

Substitua estes valores na fórmula de Bháskara

$\mathbf{y=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt[2]{(-6)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}}$

Simplifique as multiplicações, potenciações e jogos de sinal

$\mathbf{y=\dfrac{6\pm\sqrt[2]{36-20}}{2}}$

Subtraia os valores do radical

$\mathbf{y=\dfrac{6\pm\sqrt[2]{16}}{2}}$

Simplifique a raiz quadrada

$\mathbf{y=\dfrac{6\pm4}{2}}$

Separe as raízes

$\mathbf{y_1=\dfrac{6+4}{2}~~~~~~y_2=\dfrac{6-4}{2}}$

Simplifique o numerador

$\mathbf{y_1=\dfrac{10}{2}~~~~~~y_2=\dfrac{2}{2}}$

Simplifique as frações

$\mathbf{y_1=5~~~~~~y_2=1}$

Agora, volte a substituir a incógnita como a expressão $\mathbf{5^{x}}$

$\mathbf{5^{x}=5~~~~~~ 5^{x}=1}$

Encontre os valores do expoente, aplicando os logaritmos

Lembrando que

$\boxed{\log_a(b)=x~|~a^{x}=b}\\\\\\ \boxed{\log_a(1)=0}\\\\\\ \boxed{\log_a(a)=1}$

$\log_5(5) = x~~~~~\log_5(1)=x$

Simplifique usando as identidades

$x_1 = 1~~~~~~x_2=0$

O enunciado nos pediu a soma das dos possíveis valores de x, então

$1+0=1~~\checkmark$