A Soma dos n primeiros elementos da PA (-31,-26,...) é igual a 60. Determine n ?
Soluções para a tarefa
Sn = (A1 + An).n Fórmula da soma dos termos de uma PA
2
60 = (-31 + An).n⇒
2
120 = (-31 + An).n⇒
An = A1 + (n - 1).5⇒
An = ( - 31 + 5n - 5)⇒
An = ( - 36 + 5n)
120 = ( - 31 - 36 + 5n)n⇒
120 = ( - 67 + 5n).n⇒
5n² - 67n - 120 = 0⇒
n1= 67 + √(-67)² - 4,5.(-120)⇒
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n1 = 67 + √4.489 + 2400⇒
10
n1 = 67 + √6.889⇒
10
n1 = 67 + 83⇒
10
n1 = 150⇒
10
n1 = 15
Bons Estudos
kélémen
O valor da posição n da progressão cuja soma dos termos resulta em 60 é n = 15.
Para resolvermos esse exercício, devemos encontrar a fórmula do termo geral dessa Progressão Aritmética.
Observando a diferença entre o primeiro e o segundo termo, temos que a razão da PA é -26 - (-31) = 5.
Utilizando a fórmula do termo geral de uma PA, temos que An = A1 + (n - 1)*r, onde An é o termo geral na posição n, A1 é o primeiro termo, n é a posição que se deseja descobrir, e r é a razão da PA.
Substituindo os valores encontrados, obtemos que An = -31 + (n - 1)*5, ou An = -31 + 5n - 5. Portanto, o termo geral dessa PA possui valor An = 5n - 36.
Já para encontrarmos a soma dos n primeiros termos de uma PA, podemos utilizar a fórmula Sn = (A1 + An)*n/2, onde A1 é o primeiro termo, An é o valor do termo na posição n, e n é a quantidade de termos.
Substituindo o valor An descoberto anteriormente, e o valor de 60 que é desejado utilizar a partir do enunciado, temos que 60 = (-31 + 5n - 36)*n/2. Assim, 60 = (5n - 67)*n/2, ou 60 = 5n²/2 - 67n/2.
Com isso, multiplicando ambos os lados da equação por 2, obtemos a equação do segundo grau 5n² - 67n - 120 = 0.
Utilizando a fórmula de Bhaskara, com coeficientes a = 5, b = -67, c = -120, obtemos que as raizes da equação são -8/5 e 15. Como n deve ser positivo, devemos desconsiderar o valor negativo.
Portanto, concluímos que o valor da posição n da progressão cuja soma dos termos resulta em 60 é n = 15.
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