a soma dos múltiplos de 7 formados por 3 algarismos é?
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Vamos lá.
Veja, Karina, que é simples.
Note que o primeiro múltiplo de "7", que tem 3 algarismos é o número "105", pois 15*7 = 105. E o último número de 3 algarismos, que é múltiplo de "7", é o número "994", pois 142*7 = 994.
Então, teremos uma PA, cujo primeiro termo (a1) é igual a "105", cujo último termo (an) é igual a "994" e cuja razão (r) é igual a "7", pois os múltiplos de "7" ocorrem de 7 em 7 unidades.
Resta-nos apenas encontrar o número de termos (n), para podermos calcular a soma de todos os múltiplos de "7" de três algarismos.
Assim, vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PA, que é dado por:
an = a1 + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por "994"; substituiremos "a1" por "105" e, finalmente, substituiremos "r" por "7". Assim, ficaremos com:
994 = 105 + (n-1)*7
994 = 105 + 7*n - 7*1
994 = 105 + 7n - 7 ----- ou apenas:
994 = 105 - 7 + 7n
994 = 98 + 7n ------ passando "98" para o 1º membro, teremos:
994 - 98 = 7n
896 = 7n ---- vamos apenas inverter, ficando:
7n = 896
n = 896/7 ----- note que esta divisão dá exatamente 128. Logo:
n = 128 <---- Este é o número de termos da nossa PA.
Agora vamos encontrar a soma dos termos dessa PA, já que temos todos os elementos para isso. Veja que a fórmula da soma dos termos de uma PA é dada por:
Sn = (a1 + an)*n/2
Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S128", já que a PA terá 128 termos. Por sua vez, substituiremos "a1" e "an" por "105" e "994", respectivamente, que são o primeiro e o último termos da nossa PA. E, finalmente, substituiremos "n" por "128", que é o número de termos da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
S128 = (105 + 994)*128/2
S128 = (1.099)*64 ----- ou apenas:
S128 = 1.099*64
S128 = 70.336 <---- Esta é a resposta. Esta é a soma pedida.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Karina, que é simples.
Note que o primeiro múltiplo de "7", que tem 3 algarismos é o número "105", pois 15*7 = 105. E o último número de 3 algarismos, que é múltiplo de "7", é o número "994", pois 142*7 = 994.
Então, teremos uma PA, cujo primeiro termo (a1) é igual a "105", cujo último termo (an) é igual a "994" e cuja razão (r) é igual a "7", pois os múltiplos de "7" ocorrem de 7 em 7 unidades.
Resta-nos apenas encontrar o número de termos (n), para podermos calcular a soma de todos os múltiplos de "7" de três algarismos.
Assim, vamos aplicar a fórmula do termo geral de uma PA, que é dado por:
an = a1 + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por "994"; substituiremos "a1" por "105" e, finalmente, substituiremos "r" por "7". Assim, ficaremos com:
994 = 105 + (n-1)*7
994 = 105 + 7*n - 7*1
994 = 105 + 7n - 7 ----- ou apenas:
994 = 105 - 7 + 7n
994 = 98 + 7n ------ passando "98" para o 1º membro, teremos:
994 - 98 = 7n
896 = 7n ---- vamos apenas inverter, ficando:
7n = 896
n = 896/7 ----- note que esta divisão dá exatamente 128. Logo:
n = 128 <---- Este é o número de termos da nossa PA.
Agora vamos encontrar a soma dos termos dessa PA, já que temos todos os elementos para isso. Veja que a fórmula da soma dos termos de uma PA é dada por:
Sn = (a1 + an)*n/2
Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "S128", já que a PA terá 128 termos. Por sua vez, substituiremos "a1" e "an" por "105" e "994", respectivamente, que são o primeiro e o último termos da nossa PA. E, finalmente, substituiremos "n" por "128", que é o número de termos da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
S128 = (105 + 994)*128/2
S128 = (1.099)*64 ----- ou apenas:
S128 = 1.099*64
S128 = 70.336 <---- Esta é a resposta. Esta é a soma pedida.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Continuando..... será o número 15*7 = 105. Deu pra entender bem, como não é nada difícil? Um abraço. Adjemir.
Continuando... Aí você poderia perguntar: e qual será o maior número de 4 algarismos que é divisível por "7". Veja como é fácil: vamos para o primeiro número de 5 algarismos, que será o número 10.000. Vamos dividir 10.000 por 7. Então: 10.000/7 = 1.428,5714... Então o último número divisível por "7" que tenha 4 algarismos será o número: 1.428*7 = 9.996 <--- Olha aí como é fácil. Este é o último número de 4 algarismos que é divisível por "7". E o primeiro número de 4 algarismos que é divisível
Continuando...... E o primeiro número de 4 algarismos que é divisível por "7", qual será? Basta fazer como fizemos para o número da questão (que era de três algarismos). Tomaremos o primeiro número de 4 algarismos que, que é: 1.000. Dividimos 1.000 por 7 e obteremos: 1.000/7 = 142,8571. Então o primeiro número de 4 algarismos, que é divisível por 7, será o número: 143*7 = 1.001 <---- Este é o primeiro número de 4 algarismos que é divisível por 7. Notou como não há nenhuma dificuldade? Adjemir.
Agora olha aí uma coisa interessante. Eu respondi a pergunta da Karina, com a maior boa vontade possível e depois e ela denuncia a minha resposta. Dá pra entender?
Sim, foi denunciada pela Karina, pois, como você sabe, no fim da página aparece todo o histórico da pergunta/resposta. Mas como um dos moderadores (no caso o Albertrieben) aprovou a minha resposta, então a "denúncia" deixa de valer, para valer apenas a aprovação do moderador. Mas, no entanto, a "marca" de Karina denunciou a resposta do Adjemir está lá. Esta é imutável.
Sua explicação para o problema é muito boa Adjemir. Parabéns.
Obrigado, Hélvio.
De nada.
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Menor número de 3 algarismos = 100
Maior número de 3 algarismos = 999
======
Primeiro múltiplo é 105 = a1 = ( 7 x 15 = 105 )
Maior múltiplo é 994 = an = ( 7 x 142 = 994 )
Razão = 7
======
Encontrar o número de termos da PA (múltiplos de 7)
an = a1 + (n – 1) . r
994 = 105 + ( n - 1). 7
994 = 105 + 7n - 7
994 = 98 + 7n
896 = 7n
n = 896 / 7
n = 128
=====
Soma para os ternos:
Sn = ( a1 + an ) . n / 2
Sn = (105 + 994 ) . 128 / 2
Sn = 1099 . 128 / 2
Sn = 140672 / 2
Sn = 70336
=====
Soma = 70.336
Maior número de 3 algarismos = 999
======
Primeiro múltiplo é 105 = a1 = ( 7 x 15 = 105 )
Maior múltiplo é 994 = an = ( 7 x 142 = 994 )
Razão = 7
======
Encontrar o número de termos da PA (múltiplos de 7)
an = a1 + (n – 1) . r
994 = 105 + ( n - 1). 7
994 = 105 + 7n - 7
994 = 98 + 7n
896 = 7n
n = 896 / 7
n = 128
=====
Soma para os ternos:
Sn = ( a1 + an ) . n / 2
Sn = (105 + 994 ) . 128 / 2
Sn = 1099 . 128 / 2
Sn = 140672 / 2
Sn = 70336
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Soma = 70.336
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