Question

A soma dos inversos das raízes da equação x² -10x + 22 = 0 é igual a?

Answer 1

Queremos a soma dos inversos das raízes de $\mathsf{x^{2}-10x+22=0}$

Se u e v são as raízes de f, então a soma dos inversos das raízes será

$\mathsf{S_{(-1)}=\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=\dfrac{v}{uv}+\dfrac{u}{uv}=\dfrac{u+v}{uv}=\dfrac{soma\,\,das\,\,ra\'izes}{produto\,\,das\,\,ra\'izes}}$

Basta encontrarmos a soma e o produto das raízes da equação.

Sabemos que, numa equação quadrática $\mathsf{ax^{2}+bx+c=0,\,a\neq0}$, a soma e o produto das raízes são, respectivamente,

$\mathsf{S=-\dfrac{b}{a},\,\,P=\dfrac{c}{a}}$

Então, podemos encontrar a soma e o produto das raízes dessa equação facilmente. No caso, a = 1, b = -10, c = 22, então

$\mathsf{S=-\dfrac{(-10)}{1}=10,\,\,P=\dfrac{22}{1}=22}$

Logo, a soma dos inversos das raízes da equação é

$\mathsf{S_{(-1)}=\dfrac{S}{P}=\dfrac{10}{22}=\dfrac{5}{11}}$
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Outra forma: Encontrar, de fato, as raízes da equação

$\mathsf{x^{2}-10x+22=0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,a=1,\,b=-10,\,c=22}$

Vamos encontrar as raízes via fórmula de bhaskara

$\mathsf{\Delta=b^{2}-4ac}\\\mathsf{\Delta=(-10)^{2}-4\cdot1\cdot22}\\\mathsf{\Delta=100-88}\\\mathsf{\Delta=12\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-10)\pm2\sqrt{3}}{2\cdot1}=5\pm\sqrt{3}\,\,\begin{cases}\mathsf{x_{1}=5+\sqrt{3}}\\\\\mathsf{x_{2}=5-\sqrt{3}}\end{cases}}$

Achamos as raízes da equação. Então, a soma dos inversos das raízes é

$\mathsf{\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\dfrac{1}{5+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{5-\sqrt{3}}=\dfrac{1(5-\sqrt{3})+1(5+\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})}=\dfrac{5-\sqrt{3}+5+\sqrt{3}}{5^{2}-\big(\sqrt{3}\big)^{2}}}\\\\\\\mathsf{=\dfrac{10}{25-3}=\dfrac{10}{22}=\dfrac{10\div2}{22\div2}=\dfrac{5}{11}}$

Answer 2

A soma dos inversos das raízes da equação
x² -10x + 22 = 0 é igual a?

soma das raízes:

x1+x2=-b/a

x1+x2=-(-10)/1

x1+x2=10/1

x1+x2=10

produto das raízes::

P=c/a

p=22/1

x1+x2=22



soma dos inversos das raízes:

s_(-1)=(x1+x2)/(x1).(x2)

s_(-1)=10/22


s_(-1)=5/11


espero ter ajudado!


bom dia !