Question

A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720 graus. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, determine o número de faces

Answer 1

O poliedro possui 8 faces.

Fórmula da soma dos ângulos internos

Para se determinar a soma dos ângulos internos de um poliedro convexo basta utilizarmos a fórmula S=(n-2)*180°, na qual "n" é o número de lados (ou vértices ou arestas). Essa fórmula também pode ser utilizada de forma inversa, quando se tem a soma dos ângulos e de deseja saber o número de vértices ou lados.

Fórmula de Euler

No que diz respeito a poliedros, também conhecida como teorema de Euler-Descartes, a fórmula de Euler estabelece que o número de faces somado ao número de vértices, subtraindo o número de arestas em um poliedro, será sempre igual a 2, ou seja, F + V – A = 2.

Calculando o número de vértices

Como a soma dos ângulos internos vale 720°, e o número de lados é igual ao número de vértices, basta aplicarmos na fórmula para determinar a quantidade de vértices do poliedro:

S=(n-2)*180°

720°=(v-2)*180°

720°/180°=v-2

4=v-2

v=4+2

v=6

Determinando o número de faces

Como o número de faces vale 2/3 do número de arestas, de acordo com o enunciado, então temos que F=2A/3, e da mesma forma, A=3F/2.

Agora que encontramos o número de vértices e sabemos essa relação, basta aplicarmos na fórmula de Euler para encontrar o número de faces:

F + V - A =2

F + 6 - (3F/2) = 2

Deixando todos com o mesmo denominador ficamos com o seguinte:

(2F + 12 - 3F)/2 = 4/2

-F + 12 = 4

12 - 4 = F

F = 8

Dessa forma temos que o poliedro possui 8 faces.

Entenda mais sobre Fórmula de Euler aqui: https://brainly.com.br/tarefa/34990304

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