ENEM, perguntado por jessicavitoria536, 5 meses atrás

a soma dos algarismos do termo independente de x no desenvolvimento do binômio de newton

Soluções para a tarefa

Respondido por rubensousa5991

Com o desenvolvimento do binômio de Newton, temos como resposta 5 o valor da soma.

Binômio de Newton

A fórmula do binômio de Newton serve para calcular as potências de um binômio utilizando os coeficientes binomiais. Por meio dessa fórmula, é possível expressar a potência $\left(a+b\right)^n$ com uma soma de vários termos, cujos coeficientes podem ser obtidos utilizando-se o triângulo de Pascal.

$\begin{pmatrix}Potencias&Desenvolvimento&Coeficientes\\ \left(a+b\right)^1&a+b&1\:1\\ \left(a+b\right)^2&a^2+2ab+b^2&1\:2\:1\\ \left(a+b\right)^3&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3&1\:3\:3\:1\\ \left(a+b\right)^4&a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4&1\:4\:6\:4\:1\\ \left(a+b\right)^5&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5&1\:5\:10\:10\:5\:1\\ ...&...&...\end{pmatrix}$

Podemos observar que:

Os coeficientes dos desenvolvimentos de (a + b)², (a + b)² e $\left(a+b\right)^4$ são, respectivamente, os números da segunda, terceira e quarta linhas do triângulos de Pascal.
Os desenvolvimentos de (a + b)², (a + b)³ e $\left(a+b\right)^4$ são polinômios completos e ordenados em a e b, decrescentes em relação a "a" e crescentes em relação a "b".
O grau de cada um dos monômios(soma dos expoentes de a e b)é, em cada caso, igual ao expoente da potência.

Essas observações são válidas para qualquer expoente. Generalizando, podemos chegar a fórmula do binômio de Newton:

$\left(a+b\right)^n=\begin{pmatrix}n\\ 0\end{pmatrix}a^nb^n+\begin{pmatrix}n\\ 1\end{pmatrix}a^{n-1}b^1+_{....}+\begin{pmatrix}n\\ n-1\end{pmatrix}a^1b^{n-1}+\begin{pmatrix}n\\ n\end{pmatrix}a^0b^n$

Para obter $\left(a+b\right)^n$ é preciso desenvolver $\left(a+\left(-b\right)\right)^n$ . Assim, o desenvolvimento resulta em

$\left(a-b\right)^n=\left(a+\left(-b\right)\right)^n=\begin{pmatrix}n\\ 0\end{pmatrix}a^nb^0+\begin{pmatrix}n\\ 1\end{pmatrix}a^{n-1}b^1+\begin{pmatrix}n\\ 2\end{pmatrix}a^{n-2}b^2+_{....}+\begin{pmatrix}n\\ n-1\end{pmatrix}a^1b^{n-1}+\begin{pmatrix}n\\ n\end{pmatrix}a^0b^n$

Se o expoente for par, o último será positivo. Caso contrário, ou seja, se for ímpar, o último será negativo. Sendo assim podemos resolver o exercício. Podemos escrever o termo geral da seguinte forma:

$\begin{cases}T_{k+1}=\frac{8}{k}\cdot \left(\frac{2}{x}\right)^{8-k}\cdot x^p&\\ T_{k+1}=\frac{8!}{k!\left(8-k\right)!}\cdot 2^{8-k}\cdot x^{2k-8}&\end{cases}$

$2k-8=0\rightarrow k=4$

Daí,

$\begin{cases}T_5=\frac{8!}{4!\left(8-4\right)!}\cdot 2^{8-4}&\\ T_5=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot 2^4&\\ T_5=1120&\end{cases}$