Question

a soma dos 2 últimos algarismos da representação do número 8^100 na base 15 é?

Answer 1

Fazendo as devidas conversões, descobrimos que número $8^100$ na base 15 termina com os algarismos $01$

Uma forma na qual podemos representar um numero escrito na base 15 seria usar os números de zero até nove e depois A até E onde A=10,B=11,... E=14

Entao teríamos que 15 na notação decimal seria 10 na base 15.

Operando na base decimal vemos que

$8=2\times4$ logo $8^{100}=(2\times4)^{100}=(2)^{100}\times(4)^{100}=(4)^{50}\times(4)^{100}=4^{150}=16^{75}$

Vamos agora adotar a seguinte notação $X_D$ é um número na base 10 e $X_Q$ é um número na base 15

Sabemos que $4_D^2=16_D$

Como $15_D=10_Q$ teremos que $16_D=11_Q$

Vamos também reescrever 75 da base décimal para a base 15:

$75_D=5\times15_D=5\times10_Q=50Q$

Com isso, obtemos a expressão convertida da base décimal para a base 15:

$16^{75}_D=11^{50}_Q$

Vamos agora efetuar alguns testes para ver se conseguiremos descobrir os dois últimos algarismos.

Comecemos com $11^2_Q$

$11^2_Q=(10+1)^2=100+20+1=121_Q$

Veremos agora $11^3_Q$

$11^3_Q=121(10+1)=1210+121=1331_Q$

Veremos agora $11^4_Q$

$11^4_Q=1331(10+1)=13310+1331=14641_Q$

Podemos perceber então que os dois últimos algarismos serão da forma $n\times10 +1$

Logo, para n=50, teremos $50\times10+1$ é assim concluímos que os dois últimos algarismos serão $01$