Question

a soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética e 150. determine 8° termo desta p.a.: urgenteee

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gugol, que a resolução é simples.

Pede-se o valor do 8º termo de uma PA, sabendo-se que a soma dos 15 primeiros termos é igual a 150.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento:
 
i) A a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada por:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Na fórmula acima "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos de uma PA. Como queremos a soma dos 15 primeiros, então substituiremos "Sn" por "S₁₅". Mas como já sabemos que a soma desses 15 primeiros termos é igual a "150", então substituiremos por "150". Por sua vez, substituiremos "an" por "a₁₅", pois a soma é dos 15 primeiros termos; e finalmente, substituiremos "n" por "15", pois estamos tratando da soma dos 15 primeiros termos. Então vamos ficar assim:

150 = (a₁ + a₁₅)*15/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*150 = (a₁+a₁₅)*15
300 = (a₁ + a₁₅)*15 ---- se dividiremos ambos os membros por "15", vamos ficar apenas com:

20 = (a₁ + a₁₅) -- ou apenas:

a₁ + a₁₅ = 20    . (I)

Note que poderemos colocar "a₁₅" em função do primeiro termo (a₁) e da razão (r). Para isso, basta que apliquemos a fórmula do termo geral de uma PA, que é dada por:

an = a₁ + (n-1)*r ----- como queremos o valor do 15º termo, então substituiremos "an" por "a₁₅" , e "n" por "15", pois estamos cuidando do 15º termo. Assim, ficaremos:

a₁₅ = a₁ + (15-1)*r
a₁₅ = a₁ + (14)*r
a₁₅ = a1 + 14r  ------ vamos substituir, na expressão (I) acima, o "a₁₅" por "a₁+14r", conforme vimos aqui.
Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

a₁ + a₁₅ = 20 ---- fazendo a substituição proposta acima, teremos:
a₁ + a₁+14r = 20 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
2a₁ + 14r = 20 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos apenas com:

a₁ + 7r = 10    . (II)

ii) Agora vamos encontrar o 8º termo (a8). Para isso, voltaremos a aplicar a fórmula do termo geral de uma PA, que é esta:

an = a₁ + (n-1)*r

Como queremos encontrar o 8º termo, então vamos substituir "an" por "a₈". Por sua vez, substituiremos "n" por "8", pois estamos atrás de encontrar o valor do 8º termo. Então teremos isto:

a₈ = a₁ + (8-1)*r
a₈ = a₁ + (7)*r --- ou apenas:
a₈ = a₁ + 7r ---- amos apenas inverter, com o que ficaremos:
a₁ + 7r = a₈       . (III)

iii) Agora façamos o seguinte: comparemos a expressão (III), ora encontrada aí em cima, com a expressão (II). Vamos trazer a expressão (II) pra cá para podermos comparar as duas expressões. Veja:

a₁ + 7r = 10   ----------- esta é a expressão (II)
a₁ + 7r = a₈    ----------- esta é a expressão (III)

O que você conclui da comparação acima? Já vemos, logo de "cara" que a₈ é igual a "10" (percebeu?).
Veja: se a₁+7r = 10; e a₁+7r = a₈, então é porque a₈ = 10.

Dessa forma, resumindo, teremos que:

a₈ = 10 <--- Esta é a resposta. Este é o valor do 8º termo da PA da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.