Question

A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8° termo dessa PA

Answer 1

Vamos lá.

Veja, que a resolução é simples (embora não seja tão usual).

Tem-se que a soma dos 15 primeiros termos de uma PA é igual a 150.

Dada essa informação, pede-se o valor do 8º termo (a₈).

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos para a fórmula da soma dos termos de uma PA, que é dada por:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Como queremos a soma dos 15 primeiros termos e considerando que essa soma já foi dada (150), então substituiremos "Sn" por "150". Por sua vez, substituiremos "an" por "a₁₅", já que estamos querendo a soma dos 15 primeiros termos. E, finalmente, substituiremos "n" por "15" pelo mesmo motivo acima (estamos trabalhando com a soma dos 15 primeiros termos). Assim, fazendo essas substituições, ficaremos com:

150 = (a₁ + a₁₅)*15/2 ---- como "15/2" = "7,5", teremos:

150 = (a₁ + a₁₅)*7,5 ---- vamos apenas inverter, ficando:

(a₁ + a₁₅)*7,5 = 150 --- isolando "a₁+a₁₅" teremos:

a₁ + a₁₅ = 150/7,5 ---- note que esta divisão dá EXATAMENTE "20". Logo:

a₁ + a₁₅ = 20      . (I)

ii) Agora note uma coisa muito importante: numa PA a soma de dois termos equidistantes quaisquer será sempre a mesma.

Então, a partir da soma da expressão (I) acima, deveremos ter isto:

a₁ + a₁₅ = 20

a₂ + a₁₄ = 20

a₃ + a₁₃ = 20

a₄ + a₁₂ = 20

a₅ + a₁₁ = 20

a₆ + a₁₀ = 20

a₇ + a₉ = 20

iii) Agora note mais uma coisa importante: entre "a₇" e "a₉" está o "a₈" que é o termo que estamos procurando, certo?

E numa PA o termo do meio sempre será média aritmética dos dois extremos.

Ora, se temos estes três termos: a₇, a₈ e a₉, então o termo do meio (a₈) será média aritmética dos outros dois (a₇+a₉)/2. Assim, deveremos ter que:

a₈ = (a₇ + a₉)/2 ---- como já vimos que "a₇+a₉ = 20", então:

a₈ = (20)/2 --- ou apenas:

a₈ = 20/2

a₈ = 10 <--- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.

Deu pra entender bem??