Question

a soma do quarto e oitavo termo de uma PA é 20 o trigésimo primeiro termo é o dobro do décimo sexto termo.Qual o quinto termo dessa PA

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Answer 1

$an = a1 + (n - 1)r$

$a4 = a1 + 3r \\ \\ a8 = a1 + 7r \\ \\ a4 + a8 = 20 \\ \\ 2a1 + 10r = 20 \\ \\ a1 + 5r = 10$

Tá, com isso da pra perceber que o sexto termo é igual a 10, mas não tem muita utilidade saber isso.

$a13 = a1 + 12r \\ \\ a16 = a1 + 15r \\ \\ a13 = 2a16 \\ \\ a1 + 12r = 2(a1 + 15r) \\ \\ a1 + 12r = 2a1 + 30r \\ \\ a1 = - 18r$

Substituindo na outra equação

$a1 + 5r = 10 \\ \\ - 18r + 5r = 10 \\ \\ - 13r = 10 \\ \\ r = \frac{ - 10}{13} \\ \\ a1 = - 18r \\ \\ a1 = \frac{180}{13}$

Como ele quer o quinto termo da pa

$a5 = a1 + 4r \\ \\ a5 = \frac{180}{13} - \frac{40}{13} \\ \\ a5 = \frac{140}{13}$