Question

A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a (−3−1i).Calcule z.

Entre com z na sua forma retangular:

Answer 1

Seja $z=a+bi$, onde $a,b\in\mathbb{R}$. Então, seu conjugado é: $\overline{z}=a-bi$. Usando o que foi dado no enunciado:

$z+3\overline z=-3-i\\\\ (a+bi)+3(a-bi)=-3-i\\\\ a+bi+3a-3bi=-3-i\\\\ 4a-2bi=-3-i$

Numa igualdade de números complexos, as partes imaginárias são iguais entre si e as partes reais são iguais entre si. Logo, podemos dizer:

$\underbrace{4a}_{(i)}\overbrace{-2bi}^{(ii)}}=\underbrace{-3}_{(i)}\overbrace{-i}^{(ii)}\Longrightarrow \begin{cases}(i)~4a=-3\to\boxed{a=-\dfrac{3}{4}}\\(ii)~-2b=-1\to\boxed{b=\dfrac{1}{2}}\end{cases}$

Assim, o complexo que procuramos é: $\boxed{\boxed{z=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}i}}$