Question

A soma de três números que formam uma PA crescente é 60. Se aumentarmos 18
unidades ao último eles passam a constituir uma PG. Calcule a razão da PG.

Answer 1

Resposta:

A razão da PG é  (23 +√129) / 20

Explicação passo-a-passo:

Digamos que os 3 números são  A,B, C. Como formam uma PA, sabemos que somando a razão em A obtemos B, e somando B com a razão obtemos C. Ou seja

A + r = B  ⇒ A = B-r

B + r = C

Como a soma é 60 temos

A + B + C = 60

(B-r) + B + (B+r) = 60

3B = 60

B = 20

Sabemos também que trocando C por C+18 a sequência vira uma  PG. Ou seja

A*q = B

B*q = C+18

Substituindo B por 60, A por 60-r e C por 60+r temos

(60 - r)q = 60

60q = 78+r

Isolando q na primeira equação e substituindo na segunda temos

60*60/(60-r) = 78+r

3600 = (60-r)(78+r)

r² + 18r - 1080 = 0

resolvendo obtemos duas raízes, mas só interessa a positiva, pois a PA é crescente. Logo r = 3 ( √(129) - 3)

Agora podemos calcular q:

60q = 78+r

60q = 78 + 3√(129) - 9 =

q = (23 +√129) / 20