Question

A SOMA DE TODAS AS RAÍZES REAIS DA FUNÇÃO F(X)=COTG SOBRE 2 (X)-5/4 SEN SOBRE 2 (X)+2 PERTENCENTES AO INTERVALO (PI/2,3 PI) É IGUAL A :

Answer 1

As alternativas são:

a) 4π

b) $\frac{53\pi}{6}$

c) 9π

d) $\frac{35\pi}{6}$

e) $\frac{73\pi}{6}$

Solução

A função f é definida por $f(x)=cotg^2(x)-\frac{5}{4sen^2(x)}+2=0$.

Sabemos que $cotg(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$. Sendo assim, temos que:

$f(x)=(\frac{cos(x)}{sen(x)})^2-\frac{5}{4sen^2(x)}+2$

$f(x)=\frac{cos^2(x)}{sen^2(x)}-\frac{5}{4sen^2(x)}+2$.

Da relação fundamental da trigonometria, temos que sen²(x) + cos²(x) = 1. Então, podemos dizer que cos²(x) = 1 - sen²(x).

Assim,

$f(x)=\frac{1-sen^2(x)}{sen^2(x)}-\frac{5}{4sen^2(x)}+2$.

Como queremos calcular as raízes da função f, então temos que igualá-la a 0:

$\frac{1-sen^2(x)}{sen^2(x)}-\frac{5}{4sen^2(x)}+2=0$

Multiplicando toda equação por sen²(x):

$1-sen^2(x) - \frac{5}{4}+2sen^2(x)=0$

Logo,

$sen^2(x) - \frac{1}{4}=0$

$sen^2(x) = \frac{1}{4}$

$sen(x) = \frac{1}{2}$ ou $sen(x) = -\frac{1}{2}$.

Queremos que as raízes pertençam ao intervalo [π/2,3π].

Sendo assim, $sen(x) = \frac{1}{2}$ quando: $x=\frac{5\pi}{6}$,  $x=\frac{13\pi}{6}$,  $x=\frac{17\pi}{6}$

e

$sen(x)=-\frac{1}{2}$ quando:  $x=\frac{7\pi}{6}$,  $x=\frac{11\pi}{6}$.

Portanto, a soma de todas as raízes reais é igual a:

$S = \frac{5\pi}{6} +\frac{13\pi}{6}+ \frac{17\pi}{6}+ \frac{7\pi}{6} +\frac{11\pi}{6}$

$S=\frac{53\pi}{6}$.

Alternativa correta: letra b).