Question

A soma de todas as coordenadas dos pontos em que a elipse de equação (x-4)² + 4.(y-1)² = 16 intercepta os eixos coordenados é:
(a) 5 + 4√3
(b) 9 + 4√3
(c) 5
(d) 8
(e) 9 - Alternativa CORRETA.

Answer 1

O pontos de interceptação de um eixo são sempre que quando o outro eixo é igual a 0, sendo assim, só precisamos chamar 'y' de '0' pra achar onde intercepta o eixo x e depois chamar o 'x' de 0 para achar onde intercepta o eixo y.
$(x-4)^{2} + 4.(0-1) ^{2} =16$
$( x^{2} - 8.x + 16 ) + 4.1 = 16$
$x^{2} - 8x + 4 = 16-16$
$x^{2} - 8x + 4 = 0$
Agora vamos aplicar Bhaskara para achar os valores de 'x'.
Δ=(-8)² -4.(1).(4) = 64-16 = 48
$x' = \frac{-(-8)+ \sqrt{48} }{2} = \frac{8+4 \sqrt{3} }{2} = 4 + 2 \sqrt{3}$
$x'' = \frac{-(-8)- \sqrt{48} }{2} = \frac{8-4 \sqrt{3} }{2} = 4 - 2 \sqrt{3}$
Assim temos que os pontos de interceptação do eixo x são (0, 4+2√3) e (4-2√3).
Agora vamos achar as coordenadas em que se intercepta o eixo y.
$(0-4)^{2} +4.(y-1)^{2} = 16$
$16 +4.( y^{2} - 2y + 1 ) = 16$
$4.( y^{2} - 2y + 1 ) = 16 -16$
$4.( y^{2} - 2y + 1 ) = 0$
$y^{2} - 2y + 1 = \frac{0}{4}$
$y^{2} - 2y + 1 = 0$

Δ=(-2)² - 4.(1).(1) = 4 - 4 = 0
y = $\frac{-(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Logo, o único ponto em que a elipse intercepta o eixo y é em (1,0)
Somando as coordenadas de todos os pontos de interceptação teremos:
4 + 2√3 + 4 - 2√3 + 1 = 4 + 4 + 1 +2√3 -2√3 = 9
Os termos que continham um número com raiz se cancelaram, logo, ficamos com a resposta igual 9, ou seja, letra e) 9