Question

A soma de dois números inteiros é 7 e a soma dos seus inversos é 7/12. Encontre esses números.

Answer 1

O dois números são 3 e 4

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte problema

A soma de dois números inteiros é 7, podemos reescrever isso em  equação

$x+y=7$

a soma dos seus inversos é 7/12, escrevendo em equação temos

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{12}$

Então temos a seguinte sistema de equação

$x+y=7\\\\\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{12}$

Agora vamos fazer alterações na equações de modo que achemos o valor de X e Y

Vou manipular a primeira equação

$x+y=7\\\\\boxed{x=7-y}$

agora vou substituir na segunda equação o x por isso

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{12}\\\\\\\boxed{\dfrac{1}{7-y}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{12}}$

Temos uma soma de  frações  

$\dfrac{1}{-y+7} +\dfrac{1}{y}$

vamos transforma em uma só aplicando o MMC

$Y,(7-Y)|Y\\\\1,(7-Y)|(7-Y)\\\\1,1|Y\cdot (7-Y)\\\\\\\boxed{MMC=7Y-Y^2}$

$\dfrac{1}{-y+7} +\dfrac{1}{y} \Rightarrow \dfrac{y+7-y}{7y-y^2} \Rightarrow \boxed{\dfrac{7}{7y-y^2} }$

agora basta substituirmos

$\dfrac{1}{7-y}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{7}{12}\\\\\\\boxed{\dfrac{7}{7y-y^2} = \dfrac{7}{12} }$

Aplicando a propriedade de igualdade de frações  $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \Rightarrow A\cdot D= B\cdot C$

$\dfrac{7}{7y-y^2} = \dfrac{7}{12} \\\\\\84= 49y-7y^2\\\\\\\boxed{-7y^2+49y-84=0}$

Temos que  fazer bhaskara, mas antes perceba que todos os membros são múltiplos de 7 então podemos simplificar essa expressão

$-7y^2+49y-84=0\\\\\dfrac{-7y^2}{7} + \dfrac{49y}{7} - \dfrac{84}{7} =\dfrac{0}{7} \\\\\\\boxed{-y^2+7y-12=0}$

aplicando bhaskara temos

$-y^2+7y-12=0\\\\A=-1\\B=7\\C=-12\\\\\\\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2\cdot a}\\\\\\\dfrac{-(7)\pm\sqrt{7^2-4\cdot (-1)\cdot -12} }{2\cdot (-1)}\\\\\\\dfrac{-7\pm\sqrt{49-48} }{-2}\\\\\\\dfrac{-7\pm\sqrt{1} }{-2}\\\\\\\dfrac{-7\pm1 }{-2}\\\\\\Y_1=\dfrac{-7+1}{-2} \Rightarrow \dfrac{-6}{-2} \Rightarrow \boxed{3}\\\\\\Y_2=\dfrac{-7-1}{-2} \Rightarrow \dfrac{-8}{-2} \Rightarrow \boxed{4}$

Ou seja a solução é 3 e 4

vamos dizer que Y é 4  para achar X basta substituir na equação inicial

$X+Y=7\\\\X+4=7\\\\X=7-4\\\\\boxed{X=3}$

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