Matemática, perguntado por tamirisggp1, 1 ano atrás

A soma de dois número é 6, e a soma de seus quadrados é é 68. O módulo da diferença desses dois números é?
O resultado tem que dar 10.
Obrigada!!

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Sabemos que a soma de dois números x e y (incógnitos) é igual a 6, ou seja:

\mathsf{x+y=6\qquad (i)}

Também nos foi informado que a soma do quadrado de x com o quadrado de y é 68, o que equivale, em linguagem matemática, a:

\mathsf{x^2+y^2=68\qquad(ii)}

Baseado nas informações acima, o exercício deseja encontrar o valor de |x - y|, que é o módulo da diferença entre x e y. Para isso, deve-se primeiro partir de (i) e proceder da seguinte maneira:

\mathsf{\qquad\quad\ \ \: x+y=6}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x+y)^2=6^2}

Lembrando que (x + y)² = x² + 2xy + y², temos:

\mathsf{\qquad\quad\: \ (x+y)^2=6^2}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+2xy+y^2=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+y^2+2xy=36}

Agora, lembre-se também (de (ii)) que x² + y² = 68, logo:

\mathsf{\qquad\quad~\: \underbrace{\mathsf{x^2+y^2}\!\!}_{68}\ +\,2xy=36}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 68+2xy=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=36-68}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=-32}

Ou seja, descobrimos o valor de 2xy. Sabendo que 2xy = - 32, estamos aptos a calcular o valor de |x - y| (valor desejado), e para tal fim, vamos partir da equação (ii) e manipular algebricamente o seu primeiro membro, na tentativa de encontrar a expressão |x - y|. Portanto, ficaremos com:

\mathsf{x^2+y^2=68}

Sabendo que x² + y² = (x - y)² + 2xy, obtém-se:

\mathsf{\qquad\quad \ \: \ x^2+y^2=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2+\!\underbrace{\mathsf{2xy}}_{-32}=68}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2-32=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=68+32}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=100}

E por último, tendo em mente a propriedade √x² = |x| (x ∈ R), chega-se ao resultado final:

\mathsf{\qquad\quad~~\:\, \sqrt{\!(x-y)^2}=\sqrt{100}}\\\\ ~\   \mathsf{\iff\quad |x-y|=10}

Ou seja, o valor de |x - y| = |y - x| é 10.

Resposta:

\ \large\boxed{\mathsf{|x-y|=10}}

Obs.: as identidades algébricas (x + y)² = x² + 2xy + y² e x² + y² = (x - y)² + 2xy são válidas para todo x e y complexos.

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