a solucao do sistema
x+y+z=6
4x+2y-z=5
x+3y+2z=13.
mcarolramalho:
Posso fazer por escalonamento? Usando matrizes:
Soluções para a tarefa
Respondido por
28
Fazendo por escalonamento:
Temos as equações:
x+y+z=6
4x+2y-z=5
x+3y+2z=13
Escrevendo as em forma de Matriz temos:
![\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\4&2&-1&5\\1&3&2&13\end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\4&2&-1&5\\1&3&2&13\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5C%5C4%26amp%3B2%26amp%3B-1%26amp%3B5%5C%5C1%26amp%3B3%26amp%3B2%26amp%3B13%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Onde, a primeira coluna são os coeficientes de x, a segunda coluna os coeficientes de y, a terceira coluna os coeficientes de z e a quarta(última) coluna é a coluna de resultados.
Chamando nossa Matriz de A.
Pelo método de Gauss, devemos zerar as posições a21, a31 e a32 :
Sendo:
1ª Linha⇒ Equação 1, vamos chamar de Eq1
2ª Linha⇒ Equação 2, vamos chamar de Eq2
3ª Linha⇒ Equação 3, vamos chamar de Eq3
De A1 para A2 (Primeira Parte)
Eq1(da matriz A2) ⇒ Manteve-se igual
![A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right] A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_1%3A+Equacao1+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%5C+A_2%3A+Equacao1+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
Eq2(da matriz A2) ⇒ (Eq1 da matriz A1) * (-4) + (Eq1 da matriz A1)
![A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_1: Equacao2 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right] A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_1: Equacao2 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_1%3A+Equacao1+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%5C+A_1%3A+Equacao2+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D4%26amp%3B2%26amp%3B-1%26amp%3B5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
![A_2 : Equacao2 =\left[\begin{array}{cccc}0&-2&-5&-19\end{array}\right] A_2 : Equacao2 =\left[\begin{array}{cccc}0&-2&-5&-19\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_2+%3A+Equacao2+%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%26amp%3B-2%26amp%3B-5%26amp%3B-19%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Eq3(da matriz A2) ⇒ (Eq1 da matriz A1) * (-1) + (Eq3 da matriz A1)
![A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_1: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}1&3&2&13\end{array}\right] A_1: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_1: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}1&3&2&13\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_1%3A+Equacao1+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%5C+A_1%3A+Equacao3+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B3%26amp%3B2%26amp%3B13%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
![A_2:Equacao3 =\left[\begin{array}{cccc}0&2&1&7\end{array}\right] A_2:Equacao3 =\left[\begin{array}{cccc}0&2&1&7\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_2%3AEquacao3+%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%26amp%3B2%26amp%3B1%26amp%3B7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Depois dessa primeira parte a matriz ficou assim:
![A_2 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\0&-2&-5&-19\\0&2&1&7\end{array}\right] A_2 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\0&-2&-5&-19\\0&2&1&7\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_2+%3D++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5C%5C0%26amp%3B-2%26amp%3B-5%26amp%3B-19%5C%5C0%26amp%3B2%26amp%3B1%26amp%3B7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
De A2 para A3 (Segunda Parte)
Eq1(da matriz A3) ⇒ Manteve-se igual
![A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_3: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right] A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]\\ A_3: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_2%3A+Equacao1+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%5C+A_3%3A+Equacao1+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Eq2(da matriz A3) ⇒ Manteve-se igual
![A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right]\\ A_3: Equacao2 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right] A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right]\\ A_3: Equacao2 = \left[\begin{array}{cccc}4&2&-1&5\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_2%3A+Equacao1+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D4%26amp%3B2%26amp%3B-1%26amp%3B5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%5C+A_3%3A+Equacao2+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D4%26amp%3B2%26amp%3B-1%26amp%3B5%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Eq3(da matriz A3) ⇒ (Eq2 da matriz A2) + (Eq3 da matriz A2)
![A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}0&-2&-5&-19\end{array}\right]\\ A_2: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}0&2&1&7\end{array}\right] A_2: Equacao1 = \left[\begin{array}{cccc}0&-2&-5&-19\end{array}\right]\\ A_2: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}0&2&1&7\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_2%3A+Equacao1+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%26amp%3B-2%26amp%3B-5%26amp%3B-19%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5C%5C+A_2%3A+Equacao3+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%26amp%3B2%26amp%3B1%26amp%3B7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
![A_3: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}0&0&-4&-12\end{array}\right] A_3: Equacao3 = \left[\begin{array}{cccc}0&0&-4&-12\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_3%3A+Equacao3+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%26amp%3B0%26amp%3B-4%26amp%3B-12%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
Depois dessa primeira parte a matriz ficou assim:
![A_3 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\0&-2&-5&-19\\0&0&-4&-12\end{array}\right] A_3 = \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&6\\0&-2&-5&-19\\0&0&-4&-12\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A_3+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D1%26amp%3B1%26amp%3B1%26amp%3B6%5C%5C0%26amp%3B-2%26amp%3B-5%26amp%3B-19%5C%5C0%26amp%3B0%26amp%3B-4%26amp%3B-12%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
Agora com os valores das linhas, montamos novamente as equações:
Equação1 ⇒ 1x+1y+1z=6 ⇒ x + y + z = 6
Equação2 ⇒ (-2)y+(-5)z =-19 ⇒ Multiplicando (-1) ⇒ 2y+5z =19
Equação3 ⇒ (-4)z=-12 ⇒ Dividindo (-4) ⇒ z = 3
z = 3
2y+5z =19 ⇒ 2y + 5 * 3 = 19 ⇒ 2y = 19-15 ⇒y =4/2 ⇒ y=2
x + y + z = 6 ⇒ x = 6 - 2 -3 ⇒ x = 1
Temos as equações:
x+y+z=6
4x+2y-z=5
x+3y+2z=13
Escrevendo as em forma de Matriz temos:
Onde, a primeira coluna são os coeficientes de x, a segunda coluna os coeficientes de y, a terceira coluna os coeficientes de z e a quarta(última) coluna é a coluna de resultados.
Chamando nossa Matriz de A.
Pelo método de Gauss, devemos zerar as posições a21, a31 e a32 :
Sendo:
1ª Linha⇒ Equação 1, vamos chamar de Eq1
2ª Linha⇒ Equação 2, vamos chamar de Eq2
3ª Linha⇒ Equação 3, vamos chamar de Eq3
De A1 para A2 (Primeira Parte)
Eq1(da matriz A2) ⇒ Manteve-se igual
Eq2(da matriz A2) ⇒ (Eq1 da matriz A1) * (-4) + (Eq1 da matriz A1)
Eq3(da matriz A2) ⇒ (Eq1 da matriz A1) * (-1) + (Eq3 da matriz A1)
Depois dessa primeira parte a matriz ficou assim:
De A2 para A3 (Segunda Parte)
Eq1(da matriz A3) ⇒ Manteve-se igual
Eq2(da matriz A3) ⇒ Manteve-se igual
Eq3(da matriz A3) ⇒ (Eq2 da matriz A2) + (Eq3 da matriz A2)
Depois dessa primeira parte a matriz ficou assim:
Agora com os valores das linhas, montamos novamente as equações:
Equação1 ⇒ 1x+1y+1z=6 ⇒ x + y + z = 6
Equação2 ⇒ (-2)y+(-5)z =-19 ⇒ Multiplicando (-1) ⇒ 2y+5z =19
Equação3 ⇒ (-4)z=-12 ⇒ Dividindo (-4) ⇒ z = 3
z = 3
2y+5z =19 ⇒ 2y + 5 * 3 = 19 ⇒ 2y = 19-15 ⇒y =4/2 ⇒ y=2
x + y + z = 6 ⇒ x = 6 - 2 -3 ⇒ x = 1
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