Matemática, perguntado por samuca2104, 1 ano atrás

A solução do problema de valor inicial x (dy/dx) + y = Ln(x), com y(1)=2, é uma função do tipo y(x). Baseado nesta afirmação, pode-se afirmar que y(3) vale, aproximadamente:

a) -1
b) 0
c) 2
d) -2
e) 1

Soluções para a tarefa

Respondido por ArthurPDC
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Seja y=f(x). Sabemos que a solução de um PVI da forma y'+P(x)y=Q(x), com condição inicial f(a)=b é dada por:

f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^xQ(t)\cdot e^{A(t)}\,dt, onde A(x)=\displaystyle\int_a^xP(t)\,dt.

Desse modo, vamos manipular a equação dada para que fique na forma que está escrita na primeira linha desta resposta. Assim:

x\dfrac{dy}{dx}+y=\ln(x)\\\\ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{\ln(x)}{x}\\\\ y'+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{\ln(x)}{x}

Repare que dividimos toda a expressão por x, logo devemos ter x\neq0, condição que já estava garantida pelo fato de a expressão apresentar o termo \ln(x).

Portanto, fazendo a associação do que foi obtido acima com a equação na forma padrão:

y(1)=2\Longrightarrow a=1,~b=2\\\\ P(x)=\dfrac{1}{x},~~Q(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}

Agora, vamos calcular A(x):

A(x)=\displaystyle\int_a^xP(t)\,dt\\\\ A(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\,dt\\\\ A(x)=[\ln(t)]_1^x\\\\ A(x)=\ln(x)-\underbrace{\ln(1)}_{=0}\\\\ A(x)=\ln(x)

Vamos, finalmente, calcular a expressão de f(x);

f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^xQ(t)\cdot e^{A(t)}\,dt\\\\ f(x)=2e^{-\ln(x)}+e^{-\ln(x)}\displaystyle\int_1^x\dfrac{\ln(t)}{t}\cdot e^{\ln(t)}\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}\displaystyle\int_1^x\dfrac{\ln(t)}{t}\cdot t\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}\displaystyle\int_1^x\ln(t)\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}[t\ln(t)-t]^x_1\\\\  f(x)=2x^{-1}+x^{-1}[(x\ln(x)-x)-(1\underbrace{\ln(1)}_{=0}-1)]\\\\f(x)=2x^{-1}+x^{-1}[x\ln(x)-x+1]\\\\ f(x)=2x^{-1}+\ln(x)-1+x^{-1}\\\\ \boxed{f(x)=\dfrac{3}{x}+\ln(x)-1}

Tendo a equação de f(x), podemos encontrar y(3):

y(x)=\dfrac{3}{x}+\ln(x)-1\\\\ y(3)=\dfrac{3}{3}+\ln(3)-1\\\\ y(3)=1+\ln(3)-1\\\\ \boxed{y(3)=\ln(3)}\Longrightarrow\boxed{\boxed{y(3)\approx1,098}}\Longrightarrow\text{Letra }\bold{E.}
Respondido por jesssilva865
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Resposta:

e) 1

Explicação passo a passo:

Corrigido

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