Question

A solução do problema de valor inicial 1+ e-3x y' = 0, com y (0) = 1 é uma função
f(x). Para essa função, o valor aproximado de y (-1), é igual a:
obs.: A equação dada possui variáveis separáveis​

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que o valor mais aproximado para a equação diferencial aplicada em $\bf y(-1)$ é $\bf 1,30$

Temos a seguinte equação diferencial:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \bullet \: \: 1 + e {}^{3x} \: . \: y' = 0$

Como o enunciado diz, esta equação possui as variáveis separáveis, em algo do tipo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \: f(y) \: . \: dy = g(x) \: . \: dx}$

Organizando a equação dada neste formato acima, lembrando que $\bf{ y' = \frac{dy}{dx}}$, temos:

$1 + e {}^{ - 3x} \: . \:y ' = 0 \: \: \to \: \: e {}^{ - 3x} \: . \: y ' = - 1 \\ \\ y ' = - \frac{1}{e {}^{ - 3x} } , \: \: mas \: \: y ' = \frac{dy}{dx} \\ \\ \frac{dy}{dx} = - \frac{1}{e {}^{ - 3x} } \: \: \to \: \: dy = - \frac{dx}{e {}^{ - 3x} } \\ \\ dy = - e {}^{ 3x} dx$

Integrando ambos os lados da equação:

$\int dy = \int - e {}^{ 3x} dx \: \: \to \: y = - \int e {}^{3x} dx$

Para resolver essa integral mais complicada, vamos utilizar o método da substituição de variável:

$u = 3x \: \to \: \: \frac{du}{dx} = 3 \: \: \to \: \: \frac{du}{3} = dx \\ \\ - \int e {}^{u} . \left(\: \frac{du}{3} \right) \: \: \to \: \: - \frac{1}{3} \int e {}^{u} du \\ \\ \boxed{ \int e {}^{u} \: du = e {}^{u} + k} \\ \\ - \frac{1}{3} .e {}^{u} + k, \: mas \: \: u = 3x \: \: \to \: \: - \frac{e {}^{ 3x} }{3} + k$

Portanto, a nossa equação fica sendo:

$\: \: \: y = - \frac{e {}^{ 3x} }{3} + k, \: \: y(0) = 1 \\ \\ 1 = - \frac{e {}^{ 3.0} }{3} + k \: \: \to \: \: 1 = - \frac{1}{3} + k \\ \\ k = 1 + \frac{1}{3} \: \: \to \: \: \boxed{ k = \frac{4}{3} }$

De forma análoga, tem a solução geral que é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: y = - \frac{e {}^{ 3x} }{3} + \frac{4}{3}$

Por fim, vamos encontrar o valor de y(-1), ou seja, vamos apenas substituir o valor de x por -1:

$y = \frac{e {}^{ 3.( - 1)} }{3} + \frac{4}{3} \: \: \to \: \: \boxed{\bf y = - \frac{e {}^{ - 3} + 4}{3} \approx \: 1,31}$

Espero ter ajudado

Para saber mais do assunto, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/33735255

https://brainly.com.br/tarefa/39782524