Question

A solução da inequação é :
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a) S = { x ∈ R | x < -1}
b) S = { x ∈ R | x ≥ 1 }
c) S = { x ∈ R | x ≥ 1/2 }
d) S = { x ∈ R | -1/2 < x ≤ 1 }
e) S = { x ∈ R | -1/2 < x < 1 }

Answer 1

A solução da inequação logarítmica é: d) S = {x ∈ ℝ | – 1/2 < x ≤ 1}.

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$\tt log\:\!_3\,(2x+1)\leq1$

Inicialmente relembre-se da Condição de Existência (C.E.) do logaritmo, que constitui-se em ter seu logaritmando positivo e sua base positiva mas diferente de um. Ou, em linguagem matemática, dizemos que logₐ (b) terá sua existência garantida se b > 0 e 0 < a ≠ 1.

Veja que a base do referido logaritmo já é positiva e diferente de um, mas seu logaritmando está sujeito a não cumprir tal condição pois não sabemos o valor da variável x. Por isso, devemos impor:

$\tt2x+1 > 0~\Leftrightarrow~x > -\dfrac{1}{2}$

Então, x deve ser maior que – 1/2 para o logaritmo existir.

Agora basta encontrar o desejado intervalo que descreve a solução dessa inequação. Podemos nos deparar, numa inequação logarítmica, com logₐ (b) ≤ c (que é o nosso caso), então devemos ter b ≤ aᶜ se a > 1 ou b ≥ aᶜ se 0 < a < 1. Como na inequação desta questão a = 3 > 1, temos que:

$\tt 2x+1\leq3^1$

$\tt 2x\leq3-1$

$\tt 2x\leq2$

$\tt x\leq\dfrac{2}{2}$

$\tt x\leq1$

Portanto, x > – 1/2 (que é a condição imposta no início) e x ≤ 1. Assim, a intersecção desta solução é definida em – 1/2 < x ≤ 1, ou em notação intervalo ]– 1/2, 1] (veja em anexo a intersecção da solução nas retas reais).

À vista disso, o conjunto solução desta inequação é S = {x ∈ ℝ | – 1/2 < x ≤ 1} ⇒ alternativa d).

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.