Question

A solução da equação y3+py+q=0 é dada por


Onde


Quais são as soluções da equação y3+5y+3=0?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Erikalediane, que quando a equação é do 3º grau, você terá que aplicar as relações de Girard.
Veja como são essas relações.  Digamos que você tenha a seguinte equação do 3º grau:

ax³ + bx² + cx + d = 0 ------ com raízes iguais a: "r", "s" e "t".

i) Assim, a soma das três raízes será igual a "-b/a". Então teríamos:

r + s + t = -b/a

ii) A soma do produto, tomadas as raízes duas a duas,  será igual a "c/a". Assim teríamos:

r*s + r*t + s*t = c/a

iii) E o produto das três raízes será igual a: -d/a .
Assim, teríamos:

r*s*t = -d/a .

Pronto. Se você utilizar essas relações, encontrará as três raízes.
Agora note que é deveras trabalhoso, porque você vai ter um sistema formado por três equações e três incógnitas.

iv) Bem, visto isso, então a sua primeira questão é esta:
Como obter as raízes da equação abaixo?

y³ + py + q = 0 ?
Veja: vamos preencher com zero o coeficiente de "y²". Com isso, ficaremos assim:

y³ + 0y² + py + q = 0

Vamos admitir que as raízes da equação acima são: "r", "s" e "t". Então teríamos:

r + s + t = -b/a ----- substituindo-se "b" por "0" e "a" por "1", teríamos:
r + s + t = =0/1 --- ou apenas:
r + s + t = 0.

Depois vem:

rs + rt + st = c/a ---- substituindo-se "c" por "p" e "a" por "1", teremos:
rs + rt + st = p/1 --- ou apenas:
rs + rt + st = p

Finalmente, vem:

rst = -d/a ---- substituindo-se "d" por "q" e "a" por "1", teríamos:
rst = -q/1 --- ou apenas:
rst = - q.

Bem, agora vamos para a sua outra questão, que é esta:

y³ + 5y + 3 = 0 ----- vamos preencher com zero o coeficiente de y². Assim:

y³ + 0y² + 5y + 3 = 0 ---- vamos, novamente, admitir que as raízes são: "r", "s" e "t". Assim, teremos:

r + s + t = -b/a ---- substituindo-se "b" por "0" e "a" por "1", teremos:
r + s + t = -0/1 ---- ou apenas:
r + s + t = 0    . (I)

Depois vem:

rs + rt + st = d/a ---- substituindo-se "d" por "5" e "a" por "1", teremos:
rs + rt + st = 5/1 --- ou apenas:
rs + rt + st = 5    . (II)

E, finalmente, vem:

rst = -d/a ---- substituindo-se "d" por "3" e "a" por "1", teremos:
rst = -3/1 --- ou apenas:
rst = - 3     . (III)

Dessa forma, como você viu, ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III), que são:

{r + s + t = 0     . (I)
{rs + rt + st = 5    (II)
{rst = -3          . (III)

Resolvendo esse sistema (por sinal deveras trabalhoso), você encontra as seguintes raízes (uma raiz real e duas raízes complexas):

r = - 0,564 (aproximadamente) <--- Esta é a única raiz real.

e

s = 0,282 - 2,29i (aproximadamente) <--- Esta é uma raiz complexa
t = 0,282 + 2,29i (aproximadamente) <--- Esta é a outra raiz complexa.

É isso aí.

OK?
Adjemir.