Question

A solução da equação (n + 1)! – n! = 24n é um número natural
A) par
B) primo
C) ímpar menor que 6
D) ímpar maior que 6

Answer 1

Olá.

Temos uma questão de fatoriais, cuja a resposta está na alternativa A.

Fatorial é o nome dado ao produto de todos de n com todos seus antecessores naturais.

Para resolver essa questão, basicamente, temos que usar a fatoração por evidência no primeiro membro e logo, um pouco de álgebra básica.

Fatoração por evidência, basicamente, consiste em deixar em evidência um fator que multiplica igualmente uma determinada quantidade de termos. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{(n+1)!-n!=24n}\\\\\mathsf{(n+1)\cdot(n)!-n!=24n}\\\\\mathsf{(n!)\cdot(n+1-1)=24n}\\\\\mathsf{n!\cdot n=24n}\\\\\mathsf{n!=\dfrac{24n}{n}}\\\\\mathsf{n!=24}$

Para descobrir o valor de n, podemos detalhar os valores de alguns fatoriais até chegar no 24. Teremo:

$\mathsf{1!=1}\\\\\mathsf{2!=1\cdot2=2}\\\\\mathsf{3!=1\cdot2\cdot3=6}\\\\\mathsf{4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24}$

Como 24 equivale a 4 fatorial, podemos afirmar que n é igual a 4. Com isso, a resposta correta está na alternativa A.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.