Matemática, perguntado por francinehbonalume, 4 meses atrás

A solução da equação diferencial de primeira ordem y’–2y=ex

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que a solução desta equação diferencial linear de primeira ordem é: $\boxed{\bf y=-\dfrac{e (2x + 1 )}{4} + C e^{2x}}$

Por definição, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é uma equação diferencial ordinária envolvendo derivadas de primeira ordem em relação a uma variável independente. É uma relação envolvendo a variável dependente, a função desconhecida e sua derivada de primeira ordem.

Uma equação diferencial de primeira ordem é escrita na forma:

$\dfrac{d y}{d x} + p(x) y = q(x)$

Onde a solução desta classe de equações diferenciais é dada pela expressão:

$\boxed{\displaystyle y\mu = \int q(x)\mu dx}$

Sendo a variável μ o fator integrante da nossa equação diferencial de primeira ordem e para calcular o fator integrante devemos considerar a expressão:

$\displaystyle \mu =e^{\int p(x) dx}$

Agora nosso objetivo é calcular a solução geral da seguinte equação diferencial de primeira ordem:

$y'- 2y = e x$

Podemos ver que esta equação diferencial tem a mesma forma que a expressão que uma equação diferencial linear ordinária de primeira ordem deve ter com apenas algumas pequenas diferenças, já que em nossa expressão a função $p(x)$ tem um sinal positivo e não um sinal negativo, mas nossa equação diferencial pode ser reescrita desta forma:

$y'+(- 2y) = e x$

Então, a partir daqui, podemos tirar a conclusão de que o valor de cada variável em nossa equação diferencial é igual a:

$\begin{cases} y'+(- 2y) = e x\\ \\ p(x)= - 2\\ \\ q (x) = e x\end{cases}$

Então a solução desta equação diferencial linear de primeira ordem será escrita pela expressão:

$\displaystyle y\mu = \int e x\mu dx$

Mas antes de passar para a solução geral da nossa equação diferencial vamos encontrar o seu fator integrante, já que saberemos o valor de cada variável podemos dizer que o fator integrante da nossa equação diferencial é igual a:

$\displaystyle \mu =e^{\int - 2 dx}\quad\rm{(i) } \: \to \: \displaystyle \mu = e^{-2\int dx} \quad \rm{(ii)}\\\\ \displaystyle \mu =e^{-2 x+ C} \quad \rm{(iii)}~\to ~\mu =e^{- 2x} \quad \rm{(iv)}$

Agora substituindo o valor da nossa variável μ que representa o fator integrante da nossa equação diferencial podemos dizer que a solução é igual a:

$\displaystyle y e^{-2 x} = \int e x e^{- 2x} dx\\\\ \displaystyle y e^{-2 x} =\int x e^{1 - 2x} dx$

A solução desta integral representa a solução desta equação diferencial e para resolver esta integral devemos aplicar a substituição de variáveis, ou seja, devemos substituir uma expressão que inclua a variável x por uma nova variável que será conhecida pelo letra u.

Nossas novas variáveis são iguais a:

$\begin{cases} u = 1 - 2x \\ \\ \dfrac{du}{dx} = 1 - 2x\\ \\ \dfrac{du}{dx} = - 2x \\ \\ du = - 2xdx\\ \\ dx = - \dfrac{1}{2} du\end{cases}$

Essas novas variáveis serão substituídas em nossa integral indefinida e assim obteremos a seguinte integral que é mais fácil de resolver:

$\displaystyle y e^{-2 x} =\int x e^{u} \left(-\dfrac{1}{2}\right) du$

Vemos que perdemos uma variável "x" em nossa substituição de variável, então o que faremos é igualar x a uma expressão que inclua a variável u, fazendo isso obtemos:

$u = 1- 2x\quad {(i)}\\\ u - 1= - 2 x\quad {(ii)}\\\\ -\dfrac{u - 1}{2} = x\quad {(iii)}$

Agora substituindo a expressão que representa a variável x em nossa integral obtemos a seguinte integral:

$\displaystyle y e^{-2 x} =\int -\dfrac{u - 1}{2} e^{u} \left(-\dfrac{1}{2}\right) du\\\\ \displaystyle y e^{-2 x} =\int -\dfrac{e^u(u - 1)}{2} \left(-\dfrac{1}{2}\right) du\\\\\displaystyle y e^{-2 x} =\int \dfrac{e^u(u - 1)}{4} du \\ \\ \displaystyle y e^{-2 x} = \dfrac{1}{4} \int e^u(u - 1) du$

Vemos que aplicando a substituição de variáveis obtivemos uma integral que é bastante simples de resolver, mexendo esta integral obtemos:

$\displaystyle y e^{-2 x} = \dfrac{1}{4} \left( e^u(u - 1) -\int e^u du\right) \\\\ \displaystyle y e^{- 2x}= \dfrac{1}{4} \left( e^u(u - 1) - e^u\right)+ C$

Substituindo o valor de nossa variável u em nossa nova expressão:

$\displaystyle y e^{- 2x}= \dfrac{1}{4} \left( e^{1- 2x}(1- 2x- 1) - e^{1- 2x}\right) +C\\ \\ \displaystyle y e^{- 2x}= \dfrac{1}{4} \left( - 2xe^{1- 2x} - e^{1- 2x}\right)+ C\\\\ \displaystyle y e^{- 2x}= \dfrac{ - 2xe^{1- 2x} - e^{1- 2x}} {4} +C$

Então a despejar variável "y" em nossa equação diferencial podemos concluir que a solução disso é:

$\displaystyle y= \dfrac{ - 2xe^{1- 2x} - e^{1- 2x}} {4e^{- 2x}} +\dfrac{C}{e^{- 2x}}\\\\ \boxed{\displaystyle \bf y=-\dfrac{e(2x+1)}{4} +C e^{2x} }\quad\longleftarrow\quad \mathsf{Resposta}$