Question

A sequência (x,8,y-6/2) representa uma P.A. crescente e a sequência (x − 1, 8, y) representa uma P.G. crescente. Está correto afirmar que x + y vale?

Answer 1

Vamos usar a definição das progressões dadas para chegarmos à resposta. Em uma PA, a diferença entre os termos consecutivos é constante. Assim:

$PA:~(x,\,8,\,\dfrac{y-6}{2})\\\\\\ a_2-a_1=a_3-a_2:\\\\ \Longrightarrow (8)-(x)=\left(\dfrac{y-6}{2}\right)-(8)\\\\ 16-2x=(y-6)-16\\\\ 32-2x=y-6\\\\ y=38-2x~~(i)$

Em uma PG, a razão entre os termos consecutivos é constante, logo:

$PG:~(x-1,\,8,\,y)\\\\\\ \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}:\\\\ \dfrac{8}{x-1}=\dfrac{y}{8}\\\\ y(x-1)=64~~(ii)$

Substituindo a expressão de y obtida em (i) na equação (ii):

$y(x-1)=64\\\\ (38-2x)(x-1)=64\\\\ 38x-38-2x^2+2x=64\\\\ 2x^2-40x+102=0\\\\ x^2-20x+51=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-20)^2-4\cdot1\cdot51\\\\ \Delta=400-204\\\\ \Delta=196=14^2\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-20)\pm\sqrt{14^2}}{2\cdot1}=\dfrac{20\pm14}{2}=10\pm7\\\\\\ x_1=10+7~~ou~~x_2=10-7\\\\x_1=17~~~~~~~ou~~x_2=3$

O enunciado diz que a PA é crescente, logo cada termo deve ser maior que seu antecessor. Como $a_1=x$ e $a_2=8$, temos, necessariamente, que $x\ \textless \ 8$. Assim, a única solução que nos serve é: $\boxed{x=3}$

Agora, vamos voltar à expressão (i) para encontrarmos o valor de y:

$y=38-2x\\\\ y=38-2\cdot3\\\\ y=38-6\\\\ \boxed{y=32}$

Calculando a soma pedida:

$x+y=3+32\\\\ \boxed{\boxed{x+y=35}}$